CodeForces 26 D.Tickets（组合数学）

购票找零问题概率计算

最新推荐文章于 2020-12-05 21:22:14 发布

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组合数学

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本文探讨了n+m个人购票的场景中，售票处能否顺利找零的概率问题，并提出了解决方案，包括特殊情况处理和利用组合数学计算路径数目的方法。

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Description

$n+m$ 个人买票，一张票 $10$ 元， $n$ 个人拿的是 $10$ 元， $m$ 个人拿的是 $20$ 元，售票处只有 $k$ 张 $10$ 元用于找零，这些买票的随意排列，问有大概率使得售票处可以顺利找零

Input

三个整数 $n,m,k(0\le n,m\le 10^5,0\le k\le 10)$

Output

输出满足条件的概率，答案至少保留小数点后四位

Sample Input

5 3 1

Sample Output

0.857143

Solution

$k\ge m$ 时显然概率为 $1$ ， $n+k<m$ 时显然概率为 $0$

特判两种特殊情况后问题转化为求 $(k,0)\rightarrow(n+k,m)$ 的下对角线矩阵格路径数目，对于一条不合法的路径，将其下移一个单位后，把从起点到与 $y=x$ 的第一个交点之间的部分沿 $y=x$ 对称过去唯一对应一条 $(-1,k)\rightarrow (n+k,m-1)$ 的矩阵格路径，反之，一条 $(-1,k)\rightarrow (n+k,m-1)$ 的矩阵格路径通过把起点到与 $y=x$ 的第一个交点之间的部分沿 $y=x$ 对称后再上移一个单位可以唯一对应一条从 $(k,0)\rightarrow(n+k,m)$ 的非下对角线矩阵格路径，故两者数量相同，即不合法的路径数等于从 $(-1,k)\rightarrow (n+k,m-1)$ 的矩阵格路径数

故 $ans=1-\frac{C_{n+m}^{n+k+1}}{C_{n+m}^n}=1-\prod\limits_{i=1}^{k+1}\frac{m+1-i}{n+i}$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=100001;
int main()
{
    int n,m,k;
    while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&k))
    {
        if(k>=m)printf("1\n");
        else if(n+k<m)printf("0\n");
        else
        {
            double ans=1;
            for(int i=1;i<=k+1;i++)ans=ans*(m-i+1)/(n+i);
            ans=1.0-ans;
            printf("%.6f\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}