HDU 6092 Rikka with Subset（多重背包）

最新推荐文章于 2019-01-13 12:24:00 发布

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背包问题

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本文介绍了一种通过已知子集和数量重构原始集合的算法。该算法利用动态规划思想，通过递推公式求解每个元素出现的次数，最终输出字典序最小的集合。适用于元素个数不超过50的情况。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

一个集合有 $n$ 个元素 $a_{1,...,n}$ ，和为 $m$ ，现在给出 $B[i],i\in [0,m]$ 表示该集合子集中和为 $i$ 的数量，要求重构出该集合

Input

第一行一整数 $T$ 表示用例组数，每组用例首先输入两个整数 $n,m$ 分别表示集合元素个数和集合总和，之后输入 $m+1$ 个整数 $B_{0,...,m}$ $(1\le T\le 70,1\le n\le 50,1\le m\le 10^4,0\le B_{i}\le 2^n)$

Output

保证有解，输出字典序最小的一组

Sample Input

2
2 3
1 1 1 1
3 3
1 3 3 1

Sample Output

1 2
1 1 1

Solution

$log_2B_{0}$ 即为 $0$ 的个数 $num_0$ ，假设当前已经知道 $num_{0},...,num_{i-1}$ ，做一个多重背包得到 $dp_k$ 表示从 $num_1$ 个 $1$ ,…, $num_{i-1}$ 个 $i-1$ 中选若干数和为 $k$ 的方案数，那么有 $B_i=2^{num_0}(dp_i+num_i)=B_0(dp_i+num_i)$ ，故 $num_i=\frac{B_i-dp_i}{B_0}$ ，求完 $num_i$ 后再拿 $num_i$ 个 $i$ 去更新 $dp_k$ 的值，因为 $\sum\limits_{i=0}^nnum_i=n\le 50$ ，所以物品数不会超过 $50$ ，背包的复杂度 $O(nm)$

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=10005;
int T,n,m,num[maxn];
ll B[maxn],dp[maxn];
ll C[55][55];
void init()
{
    memset(C,0,sizeof(C));
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=50;i++)
    {
        C[i][0]=C[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
    }
}
int main()
{
    init();
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=0;i<=m;i++)scanf("%I64d",&B[i]);
        memset(num,0,sizeof(num));
        while((1ll<<num[0])<B[0])num[0]++;
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[0]=B[0];
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            num[i]=(B[i]-dp[i])/B[0];
            if(num[i])
            {
                for(int k=m;k>=0;k--)
                    for(int j=1;j<=num[i];j++)
                        if(k>=i*j)dp[k]+=dp[k-i*j]*C[num[i]][j];
            }
        }
        int res=0;
        for(int i=0;i<=m;i++)
            for(int j=1;j<=num[i];j++)
            {
                printf("%d",i);
                res++;
                if(res<n)printf(" ");
                else printf("\n");
            }
    }
    return 0;
}