拓扑排序算法解析+例题

UnderTheTime

于 2024-03-03 11:02:49 发布

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分类专栏： OI算法与数据结构文章标签：算法图论 c++

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拓扑排序

基础

拓扑排序，一般指在一个 DAG （有向无环图）中将顶点排序，使得对于图上任意一条有向边 $(u, v)$ ， $u$ 在拓扑排序后在 $v$ 的前面。这个排序的结果称为拓扑序。显然拓扑序一般不唯一。

因为拓扑序满足后面的点不会对前面的点产生依赖，所以经常和动态规划结合在一起使用，保证后面的点不会影响前面已经计算过贡献的点。一张图存在拓扑序，当且仅当这是张 DAG，所以一个常见的套路就是：先对原图进行缩点，然后用拓扑+动态规划等统计答案。

拓扑算法基本流程：记录图中每个点的入度 $d$ ，将入度等于 $0$ 的点入队。每次取出一个队首 $u$ ，将每一个与 $u$ 相连的点 $v$ 的入度减一（相当于从图中删除 $u$ 和与其相连的出边）。如果 $d_v=0$ ，则 $v$ 也入队。一直重复到队列为空。时间复杂度 $O (n + m)$ ，其中 $n$ 为点数， $m$ 为边数。

vector<int> mp[maxn];
int d[maxn],n,ans[maxn],tot;
bool toposort() {
    queue<int> q;
    for (int i = 1;i <= n;i ++)
        if (d[i] == 0) q.push(i);
    int u;
    while (!q.empty()) {
        u = ans[++ tot] = q.front(); q.pop();
        for (auto v : mp[u])
            if (--d[v] == 0) q.push(v);
    }
    return tot == n; // 判断是否有环，有则返回 True
}

一个最典型的应用就是对一个 AOV 网判断是否有若干个活动组成了环。AOV 网就是一张有向图，顶点表示活动，边表示活动之间进行的顺序。如果原图存在环，则最后的拓扑序不会包含所有的结点。利用这个性质就可以用来判环。

另一个应用就是计算一个 AOE 网的关键路径的长度。AOE 网与 AOV 网类似，只是边有了边权（时间），且一条边代表一个活动，而点代表一个事件；关键路径是指从起点到终点的最长路径。我们可以在拓扑的过程中用动态规划求解。记 $f_u$ 表示触法 $u$ 这个事件的最晚时间。假设当前从队列中取出 $u$ ，与其相连的是点 $v$ ，边权为 $w$ ，则 $\max(f_u+w,f_v)\to f_v$ 。

例题

简单题（黄题 $\to$ 绿题）

前者在拓扑的过程中 dp 统计，后者与上文中提到的 AOE 网络类似。~~当然也可以直接跑最长路:)~~

P7113 [NOIP2020] 排水系统

也是和 dp 结合统计答案，只不过需要套一个分数计算。

中等题（蓝题）

P4376 [USACO18OPEN] Milking Order G

题目中提到“符合前 $X$ 个观察结果”，这提示我们二分这个 $X$ ，如果合法则 $X - 1$ 也一定合法；反之则 $X + 1$ 也一定不合法，显然 $X$ 具有单调性。check 的时候拓扑判环即可。

因为要计算字典序最小的拓扑序，所以把原算法中的队列改成小根堆即可。时间复杂度 $O((m+n)\log (m+n))$ 。

P6381 『MdOI R2』Odyssey

题解

难题（紫题）

P2505 [HAOI2012] 道路

对于一条边 $u\to v$ ，则经过这条边的最短路条数就是：以 $u$ 为终点的最短路条数 $\times$ 以 $v$ 为起点的最短路条数。

先判断被最短路经过的边有哪些。Dijkstra 或 SPFA 的松弛操作长这样：
$\min(dis_v,dis_u+w(u\to v))\to dis_v$
显然在这两种算法结束后，对于一条边 $u\to v$ ，如果 $dis_v=dis_u+w(u\to v)$ ，则说明 $v$ 的最短路经过了 $u\to v$ 这条边（或者边权与之相等的边），即 $u\to v$ 被至少一条最短路包含。

如果我们钦定一个源点 $S$ ，跑最短路后把这几条被最短路经过的边单独拎出来建个图，可以发现这是张 DAG（显然最短路不会走回头路）。

还有一个性质：对于一条最短路 $P$ ，其路径上任意两点之间的最短路，就是 $P$ 上以这两点为起点和终点的路径。

然后就可以在新建的由最短路径组成的图上拓扑排序+动态规划了。设 $f_i,g_i$ 分别表示以 $i$ 为终点、起点的最短路条数。显然 $f_S=1$ 。转移过程中，设从 $u$ 向 $v$ 转移， $f_u+f_v\to f_v$ 即可。 $g$ 可以按照计算 $f$ 时的拓扑序反着统计。初始时 $g_i=1$ ，转移时对于一条边 $u\to v$ ， $g_u+g_v\to g_u$ 即可。

最终对于一条边 $u\to v$ ，其答案即为 $f_u \times g_v$ 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1505,maxm = 5005,P = 1e9 + 7;
int n,m,cnt,head[maxn],dis[maxn],d[maxn];
bool vis[maxn],is[maxm]; int ans[maxm];
int ans1[maxn],ans2[maxn],topq[maxn],tot;
struct edge {
    int nxt,w,u,v;
} e[maxm];
void addEdge(int u,int v,int w) {
    e[++ cnt] = edge{head[u],w,u,v};
    head[u] = cnt;
}
void spfa(int st) {
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    memset(is,0,sizeof(is));
    queue<int> q; q.push(st); dis[st] = 0;
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front(); q.pop(); vis[u] = false;
        for (int i = head[u];i;i = e[i].nxt) {
            int v = e[i].v, w = e[i].w;
            if (dis[v] > dis[u] + w) {
                dis[v] = dis[u] + w;
                if (!vis[v]) { 
                    vis[v] = true;
                    q.push(v); 
                }
            }
        }
    }
    for (int i = 1;i <= m;i ++) {
        int u = e[i].u, v = e[i].v, w = e[i].w;
        if (dis[v] == dis[u] + w) is[i] = true;
        // cout << is[i] << ' ';
    }
    // putchar('\n');
}
void topo(int st) {
    memset(d,0,sizeof(d));
    memset(ans1,0,sizeof(ans1));
    memset(ans2,0,sizeof(ans2));
    queue<int> q; ans1[st] = 1; tot = 0;
    for (int i = 1;i <= m;i ++)
        if (is[i]) d[e[i].v] ++;
    q.push(st); // st为起点，入度一定为0，其他点入读一定不为0（不是起点）
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front(); q.pop(); topq[++ tot] = u;
        for (int i = head[u];i;i = e[i].nxt) {
            int v = e[i].v;
            if (!is[i]) continue;
            ans1[v] = (ans1[v] + ans1[u]) % P;
            if (--d[v] == 0) q.push(v);
        }
    }
    for (int j = tot;j > 0;j --) {
        int u = topq[j]; ans2[u] ++;
        for (int i = head[u];i;i = e[i].nxt) {
            int v = e[i].v;
            if (!is[i]) continue;
            ans2[u] = (ans2[u] + ans2[v]) % P;
        }
    }
}
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i = 1,u,v,w;i <= m;i ++) {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        addEdge(u,v,w);
    }
    for (int st = 1;st <= n;st ++) {
        spfa(st); topo(st);
        for (int i = 1;i <= m;i ++) {
            if (is[i])
                ans[i] = (ans[i] + (1ll * ans1[e[i].u] * ans2[e[i].v]) % P) % P;
        }
    }
    for (int i = 1;i <= m;i ++)
        printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}