拓扑排序 算法解析+例题

拓扑排序

---

基础

拓扑排序，一般指在一个 DAG （有向无环图）中将顶点排序，使得对于图上任意一条有向边 $(u,v)$，$u$ 在拓扑排序后在 $v$ 的前面。这个排序的结果称为拓扑序。显然拓扑序一般不唯一。

因为拓扑序满足后面的点不会对前面的点产生依赖，所以经常和动态规划结合在一起使用，保证后面的点不会影响前面已经计算过贡献的点。一张图存在拓扑序，当且仅当这是张 DAG，所以一个常见的套路就是：先对原图进行缩点，然后用拓扑+动态规划等统计答案。

拓扑算法基本流程：记录图中每个点的入度 $d$，将入度等于 $0$ 的点入队。每次取出一个队首 $u$，将每一个与 $u$ 相连的点 $v$ 的入度减一（相当于从图中删除 $u$ 和与其相连的出边）。如果 $d_v=0$，则 $v$ 也入队。一直重复到队列为空。时间复杂度 $O(n+m)$，其中 $n$ 为点数，$m$ 为边数。

vector<int> mp[maxn];
int d[maxn],n,ans[maxn],tot;
bool toposort() {
   
   
    queue<int> q;
    for (int i = 1;i <= n;i ++)
        if (d[i] == 0) q.push(i);
    int u;
    while (!q.empty()) {
   
   
        u = ans[++ tot] = q.front(); q.pop();
        for (auto v : mp[u])
            if (--d[v] == 0) q.push(v);
    }
    return tot == n; // 判断是否有环，有则返回 True
}

一个最典型的应用就是对一个 AOV 网判断是否有若干个活动组成了环。AOV 网就是一张有向图，顶点表示活动，边表示活动之间进行的顺序。如果原图存在环，则最后的拓扑序不会包含所有的结点。利用这个性质就可以用来判环。

另一个应用就是计算一个 AOE 网的关键路径的长度。AOE 网与 AOV 网类似，只是边有了边权（时间），且一条边代表一个活动，而点代表一个事件；关键路径是指从起点到终点的最长路径。我们可以在拓扑的过程中用动态规划求解。记 $f_u$ 表示触法 $u$ 这个事件的最晚时间。假设当前从队列中取出 $u$，与其相连的是点 $v$，边权为 $w$，则 $\max (f_u+w,f_v$