最短路（SPFA算法）讲解+例题

SPFA 算法介绍

SPFA 算法是 Bellman-Ford算法的队列优化算法的别称，通常用于求含负权边的单源最短路径，以及判负权环。SPFA 最坏情况下复杂度和朴素 Bellman-Ford 相同，为 O(VE)。

算法的思路：

（转自https://blog.youkuaiyun.com/qq_35644234/article/details/61614581）

    我们用数组dis记录每个结点的最短路径估计值，用  邻接表 或  邻接矩阵 来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：

    设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止

我们要知道带有负环的图是没有最短路径的，所以我们在执行算法的时候，要判断图是否带有负环，方法有两种：

1. 开始算法前，调用拓扑排序进行判断（一般不采用，浪费时间）
2. 如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（N为图的顶点数）

SPFA算法手动操作过程

（转自https://blog.youkuaiyun.com/qq_35644234/article/details/61614581）

下面我们采用SPFA算法对下图求v1到各个顶点的最短路径，通过手动的方式来模拟SPFA每个步骤的过程

• 初始化：

首先我们先初始化数组dis如下图所示：（除了起点赋值为0外，其他顶点的对应的dis的值都赋予无穷大，这样有利于后续的松弛） 

此时，我们还要把v1如队列：{v1}

现在进入循环，直到队列为空才退出循环。

• 第一次循环：

首先，队首元素出队列，即是v1出队列，然后，对以v1为弧尾的边对应的弧头顶点进行松弛操作，可以发现v1到v3，v5，v6三个顶点的最短路径变短了，更新dis数组的值，得到如下结果： 

我们发现v3，v5，v6都被松弛了，而且不在队列中，所以要他们都加入到队列中：{v3，v