P5629 【AFOI-19】区间与除法 题解

题意

如果一个数在经过若干次或 $0$ 次除以 $d$ 并向下取整后与一个被称作“原数”的数相等，则说这个数能被这个原数消除。

给定 $n$ 个数 $a$、$m$ 个原数 $b$、$d$ 和 $q$ 组形如 $l,r$ 的询问，求在用原数尽可能多的消除 $a_l,a_{l+1},\dots ,a_r$ 的情况下最少需要几个原数。原数可以重复使用且不会变化。

• 原题链接：P5629 【AFOI-19】区间与除法

解法

题目中 $m$ 只有 $60$，这提示我们可以把原数的使用信息用一个 long long 存起来。对于第 $i$ 个原数 $b_i$，如果二进制下第 $i$ 位为 $1$ 则表示决定使用 $b_i$ 去消除，为 $0$ 则表示不决定使用。如果我们知道 $a$ 中每个数使用了哪个原数消除，就可以用一个 st 表快速预处理出消灭 $[i,i+2^j)$ 中的数用了哪些原数去消除尽可能多的元素，最后也就可以 $O(1)$ 回答了。

考虑如何快速判断 $x$ 可以被什么原数消除。题目的数据范围中给到了一个 $30\%$ 的部分分：

对于 $30\%$ 的数据：$\dots ,d=2,\dots$

所以我们先考虑 $d=2$，尝试从它推出其余情况。

以十进制中的 $11$ 为例，它在二进制中表示为 $(1011{)}_2$，即 $2^3\times 1+2^2\times 0+2^1\times 1+2^0\times 1$。将其除以 $2$ 并向下取整：
$$\begin{array}{rlr}& \lfloor 11÷2\rfloor & \\ =& \lfloor (2^3\times 1+2^2\times 0+2^1\times 1+2^0\times 1)÷2\rfloor & \\ =& \lfloor 2^2\times 1+2^1\times 0+2^0\times 1+\frac{1}{2}\rfloor & \\ =& 2^2\times 1+2^1\times 0+2^0\times 1& \\ =& (101{)}_2& \end{array}$$
通过归纳可以推出：一个数除以 $2$ 并向下取整，相当于在其二进制中整体向右移一位，舍弃最低位。想必大家早就知道了

如果我们把 $2$ 进制推广到 $d$ 进制，这个规则同样适用：一个数除以 $d$ 并向下取整，相当于在其 $d$ 进制中整体向右移一位，舍弃最低位。此时我们发现，如果一个原数与 $x$ 在 $d$ 进制表示下的某一段前缀相同，则 $x$ 就可以被这个原数消灭。

所以我们只需判断 $x$ 在 $d$ 进制表示下，是否有一段前缀是某个在 $d$ 进制表示下的原数即可。

显然 $d$ 进制下位数越少的原数，它能消除的数越多。所以我们总是贪心的选择位数少的原数。

实现

对于快速判断前缀是否相同，Trie 树是很理想的数据结构。我们把所有的原数按照 $d$ 进制下高位在前、低位在后，插入一棵 Trie 里，并标记每个原数在 Trie 中的末端节点。

这里有一个小优化：将原数从小到大插入 Trie，如果在插入过程中发现了一个原数的结尾，即有一个原数在 $d$ 进制下为自己的前缀，则后面的求解中肯定会使用前者而不是自己，此时就可以直接退出了。

设 $f_{i,j}$ 表示在尽可能消灭 $[i,i+2^j)$ 的情况下原数的使用信息，$f_{i,j}$ 在二进制下第 $x$ 位为 $0$ 表示不使用 $b_x$，为 $1$ 则表示使用。对于第 $i$ 个数 $a_i$，如果在 Trie 树中找到了 $d$ 进制下能找到的长度最短的原数 $b_k$，则将 $f_{i,0}$ 设为 $2^{k-1}$（因为 $2^x$ 表示二进制的第 $(x-1)$ 位为 $1$），表示消灭 $a_i$ 使用了 $b_k$；如果找不到则默认 $f_{i,0}=0$。

在求 $f$ 全体值的时候，从小到大枚举 $j$。设当前枚举到 $i$，则 $f_{i,j-1}\text{or}{f}_{i+2^{j-1},j-1}\to f_{i,j}$。其中 $\text{or}$ 表示按位或，即 |，表示用 $[i,i+2^{j-1}),[i+2^{j-1},i+2^j)$ 的信息合并出 $[i,i+2^j)$ 的信息。

最后对于一组询问 $(l,r)$，令 $k=\lfloor {\log }_2(r-l+1)\rfloor$，则最终的原数使用信息 $ans=f_{l,k}\text{or}{f}_{r-2^k,k}$。输出 $ans$ 在二进制上有几个 $1$ 即为答案。

个人感觉这部分倍增实现可以参考 RMQ，两者因为有 $x\text{or}x=x$ 或 $\max (x,x)=\min (x,x)=x$ 的性质，才可以用两段有重复部分的区间信息合并出大区间的信息。也就是说，它们都可以用相交的两区间的并，推出大区间。而像加法、乘法等 $x+x\ne x,x^2\ne x$ 的运算就不能这么做。

时间复杂度：Trie 树部分时间复杂度约为 $O(n{\log }_{d}A)$，其中 $A$ 是原数最大值；倍增部分预处理 $O(n\log n)$，总查询复杂度 $O(q)$，总时间复杂度约为 $O(n\log n)$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define lowbit(x) ((x) & (-(x)))
using namespace std;
const int maxn = 5e5 + 5;
const int maxd = 10;
int Trie[maxn][maxd],cnt = 1,d;
int tail[maxn],b[maxn];
void insert(ll x,int i) {
    int now = 1,tot = 0;
    while (x > 0) b[++ tot] = x % d, x /= d;
    while (tot) {
        int nxt = b[tot --];
        if (!Trie[now][nxt]) Trie[now][nxt] = ++ cnt;
        now = Trie[now][nxt];
        if (tail[now]) return ; // 已经发现有更优的原数能替代自己，直接退出。
    }
    tail[now] = i;
}
int query(ll x) {
    int now = 1, tot = 0;
    while (x > 0) b[++ tot] = x % d, x /= d;
    while (tot) {
        int nxt = b[tot --];
        if (!Trie[now][nxt]) return -1;
        now = Trie[now][nxt];
        if (tail[now]) return tail[now];
    }
    return -1;
}
int bitcount(ll x) { // 数出二进制上有几个1，即使用了几个原数。
    int res = 0;
    while (x > 0)
        res += x & 1, x >>= 1;
    return res;
}
int n,m,Q;
ll a[maxn],f[maxn][30];
int main() {
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&d,&Q);
    for (int i = 1;i <= n;i ++) scanf("%lld",&a[i]);
    for (int i = 1;i <= m;i ++) {
        ll yuan; scanf("%lld",&yuan);
        insert(yuan,i);
    }
    for (int i = 1,pos;i <= n;i ++) 
        if ((pos = query(a[i])) != -1)
            f[i][0] = 1ll << (pos - 1);
    for (int i = 1;i <= 20;i ++)
        for (int j = 1;j + (1 << i) - 1 <= n;j ++)
            f[j][i] = f[j][i - 1] | f[j + (1 << (i - 1))][i - 1];
    for (int i = 1,l,r,k;i <= Q;i ++) {
        scanf("%d%d",&l,&r);
        k = log2(r - l + 1);
        printf("%d\n",bitcount(f[l][k] | f[r - (1 << k) + 1][k]));
    }
    return 0;
}