2025 XYD Summer Camp 7.21 智灵班分班考 · Day1

智灵班分班考 · Day1

时间线

• 8:00 在滨兰实验的远古机房中的一个键盘手感爆炸的电脑上开考。
• 开 T1，推了推发现可以 segment tree 优化 dp，由于按空格需要很大的力气导致马蜂被迫改变。后来忍不住了顶着疼痛按空格。
• 8:30 过了样例，但是没有大样例，先这样吧。
• 开 T2，发现每颗子树可以对应到序列上的一段区间，感觉可以区间 dp，但是怎么知道左右儿子的点的左右手写上什么呢？
• 苦思冥想到 9:45，思考无果打算打一个暴搜，暴搜过程中发现状态数可以直接从 $O(n^4)$ 降到 $O(n^3)$，但是我忘了转移还要 $O(n)$ 导致我以为我莫名其妙获得正解，于是把暴搜加了个 $O(n^3)$ 空间复杂度的记忆化数组（$n\le 500$）。
• 10:20 开 T3，一眼盯真，维护每个区间的支配点对，这只有 $O(n\log V)$ 个，然后转二维数点；二维数点过程中推出了形如给定 $[l,r]$，数 $l\le u\le v\le r$ 的数量，脑子爆炸以为要数 $(l,l)$ 到 $(r,r)$ 的矩形，发明了一会儿二维 st 未果，最后注意到只要数 $l\le u\le n$，$1\le v\le r$ 就可以了。糖丸力
• 写完调完 T3 是 11:10，赶紧开 T4，一眼盯真，对 dfn 序维护线段树，线段树每个节点维护一个 01 Trie，单点修改就修改一整条链，查询正常查询，时空复杂度 $O(n\log n\log V)$，赶紧冲！欸之前是不是过来说了啥 T4 某个样例要改一改？算了不管了。
• 写写写，11:45 分写完，测样例发现错了（其实是因为样例是错的），以为自己读错题了，爆裂鼓手，遗憾离场。

期望得分 100+60+100+70，实际得分 30+0+100+0。挂了 200 分，天下无敌！

总榜排名第 50，下一场需要翻 20+ 名。

题解 & 错因

T1

给定一个长度为 $n$ 的数列 $a$，你需要选出若干个不相交也不相邻的区间（即任意两个区间中间至少隔一个元素），一个区间 $[l,r]$ 能被选当且仅当 $l=r$ 或者 $\forall i\in [l+1,r]$，满足 $a_i\ge {\sum }_{j=l}^{i-1}{a}_j$；求所有方案中区间中元素的最大和。

$2\le n\le 2\times 10^5$，$1\le a_i\le 10^9$。

设 $f(i)$ 表示考虑完 $[1,i]$ 的答案。注意到以 $a_i$ 为选中区间右端点时，最长可选区间的左端点随着 $i$ 增大单调不降，于是可以双指针维护这个左端点。从 $j$ 转移的式子是 $f(i)\leftarrow {\max }_{k<j-1}f(k)+{\sum }_{k=j}^i{a}_k$，令 $s_i={\sum }_{j=1}^i{a}_i$ 那么就是 $f(i)\leftarrow {\max }_{k<j-1}f(k)+s_i-s_{j-1}$，令 $g(j)={\max }_{k<j}f(k)-s_j$，线段树维护这个东西的区间最大值即可。时间复杂度 $O(n\log n)$。

为啥我挂成 30pts 了呢？赛时 $g(j)$ 的表达式错误的认为是 $f(j-1)-s_j$，也就是坚定的认为只要隔一个元素。痛失 70pts。

#include <bits/stdc++.h>
bool MemoryST; using namespace std;
#define ll long long
#define mk make_pair
#define open(x) freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout)
#define lowbit(x) ((x) & (-(x)))
#define lson l, mid, rt << 1
#define rson mid + 1, r, rt << 1 | 1
#define BCNT __builtin_popcount
#define cost_time (1e3 * clock() / CLOCKS_PER_SEC) << "ms"
#define cost_space (abs(&MemoryST - &MemoryED) / 1024.0 / 1024.0) << "MB"