P7482 不条理狂诗曲 题解【纯思路】

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#c++

本文介绍了一种使用分治策略解决给定非负整数序列中选取不相邻数和最大值的问题，通过递归处理区间并运用动态规划和双指针技巧，实现时间复杂度为O(nlog^2n)。

阅读须知

本文章仅提供解题思路！

题意

给定长度为 n n n 的非负整数序列 a a a，求
∑ l = 1 n ∑ r = l n f ( l , r ) \sum^n_{l=1}\sum^n_{r=l}f(l,r) l=1∑n​r=l∑n​f(l,r)
，其中 f ( l , r ) f(l,r) f(l,r) 表示从 a a a 序列的区间 [ l , r ] [l,r] [l,r] 选择若干不相邻的数的和的最大值。结果对 1 0 9 + 7 10^9+7 109+7 取模。

思路

求所有区间的权值和提示我们使用分治。

考虑分治。设当前处理的区间为 [ l , r ] [l,r] [l,r]，令 m i d = ⌊ l + r 2 ⌋ mid=\lfloor\dfrac{l+r}{2}\rfloor mid=⌊2l+r​⌋，我们将子区间分为三种：

  • 左右端点都在 [ l , m i d ] [l,mid] [l,mid] 上；
  • 左右端点都在 [ m i d + 1 , r ] [mid + 1,r] [mid+1,r] 上；
  • 左端点在 [ l , m i d ] [l,mid] [l,mid] 上，右端点在 [ m i d + 1 , r ] [mid + 1,r] [mid+1,r] 上。

前两种子区间可以分治递归求解。对于第三种子区间，我们令 f 0 L f0_L f0L​ 表示以 L L L 开始不取 m i d mid mid 时 [ L , m i d ] [L,mid] [L,mid] 的最大权值， f 1 L f1_L f1L​ 表示以 L L L 开始取 m i d mid mid 时 [ L , m i d ] [L,mid] [L,mid] 的最大权值。相对应的，令 g 0 R g0_R g0R​ 表示以 R R R 结束不取 m i d + 1 mid + 1 mid+1 时 [ m i d + 1 , R ] [mid + 1,R] [mid+1,R] 的最大权值， g 1 R g1_R g1R​ 表示以 R R R 结束取 m i d + 1 mid + 1 mid+1 时 [ m i d + 1 , R ] [mid + 1,R] [mid+1,R] 的最大权值。

对于所有 L L L 和 R R R，我们可以用类似 dp 的方法预处理出 f 0 L , f 1 L , g 0 R , g 1 R f0_L,f1_L,g0_R,g1_R f0L​,f1L​,g0R​,g1R​，此时当前区间产生对答案的贡献即为
∑ l ≤ L ≤ m i d ∑ m i d + 1 ≤ R ≤ r max ⁡ ( f 0 L + g 1 R , f 1 L + g 0 R ) \sum_{l\le L\le mid}\sum_{mid+1\le R\le r}\max(f0_L+g1_R,f1_L+g0_R) l≤L≤mid∑​mid+1≤R≤r∑​max(f0L​+g1R​,f1L​+g0R​)
。考虑 f 0 L + g 1 R ≥ f 1 L + g 0 R f0_L+g1_R\ge f1_L+g0_R f0L​+g1R​≥f1L​+g0R​ 的情况，移项得 f 0 L − f 1 L ≥ g 0 R − g 1 R f0_L-f1_L\ge g0_R-g1_R f0L​−f1L​≥g0R​−g1R​。于是我们可以将 L L L 按 f 0 L − f 1 L f0_L - f1_L f0L​−f1L​ 排序， R R R 按 g 0 R − g 1 R g0_R-g1_R g0R​−g1R​ 排序，使用双指针计算对应贡献。

另一种情况是对称的，处理方法相似。

时间复杂度 O ( n log ⁡ 2 n ) O(n\log^2n) O(nlog2n)。

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# P7077 [CSP-S2020] 函数调用 ## 题目描述 函数是各种编程语言中一项重要的概念，借助函数，我们总可以将复杂的任务分解成一个个相对简单的子任务，直到细化为十分简单的基础操作，从而使代码的组织更加严密、更加有条理。然而，过多的函数调用也会导致额外的开销，影响程序的运行效率。 某数据库应用程序提供了若干函数用以维护数据。已知这些函数的功能可分为三类： 1. 将数据中的指定元素加上一个值； 2. 将数据中的每一个元素乘以一个相同值； 3. **依次**执行若干次函数调用，保证不会出现递归（即不会直接或间接地调用本身）。 在使用该数据库应用时，用户可一次性输入要调用的函数序列（一个函数可能被调用多次），在**依次**执行完序列中的函数后，系统中的数据被加以更新。某一天，小 A 在应用该数据库程序处理数据时遇到了困难：由于频繁而低效的函数调用，系统在执行操作时进入了无响应的状态，他只好强制结束了数据库程序。为了计算出正确数据，小 A 查阅了软件的文档，了解到每个函数的具体功能信息，现在他想请你根据这些信息帮他计算出更新后的数据应该是多少。 ## 输入格式 第一行一个正整数 $n$，表示数据的个数。 第二行 $n$ 个整数，第 $i$ 个整数表示下标为 $i$ 的数据的初始值为 $a_i$。 第三行一个正整数 $m$，表示数据库应用程序提供的函数个数。函数从 $1 \sim m$ 编号。 接下来 $m$ 行中，第 $j$（$1 \le j \le m$）行的第一个整数为 $T_j$，表示 $j$ 号函数的类型： 1. 若 $T_j = 1$，接下来两个整数 $P_j, V_j$ 分别表示要执行加法的元素的下标及其增加的值； 2. 若 $T_j = 2$，接下来一个整数 $V_j$ 表示所有元素所乘的值； 3. 若 $T_j = 3$，接下来一个正整数 $C_j$ 表示 $j$ 号函数要调用的函数个数， 随后 $C_j$ 个整数 $g^{(j)}_1, g^{(j)}_2, \ldots , g^{(j)}_{C_j}$ 依次表示其所调用的函数的编号。 第 $m + 4$ 行一个正整数 $Q$，表示输入的函数操作序列长度。 第 $m + 5$ 行 $Q$ 个整数 $f_i$，第 $i$ 个整数表示第 $i$ 个执行的函数的编号。 ## 输出格式 一行 $n$ 个用空格隔开的整数，按照下标 $1 \sim n$ 的顺序，分别输出在执行完输入的函数序列后，数据库中每一个元素的值。**答案对** $\boldsymbol{998244353}$ **取模。** ## 输入输出样例 #1 ### 输入 #1 ``` 3 1 2 3 3 1 1 1 2 2 3 2 1 2 2 2 3 ``` ### 输出 #1 ``` 6 8 12 ``` ## 输入输出样例 #2 ### 输入 #2 ``` 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 3 2 2 3 3 2 4 5 3 2 5 8 2 2 3 2 6 7 1 2 5 1 7 6 2 3 3 1 2 3 ``` ### 输出 #2 ``` 36 282 108 144 180 216 504 288 324 360 ``` ## 输入输出样例 #3 ### 输入 #3 ``` 见附件中的 call/call3.in ``` ### 输出 #3 ``` 见附件中的 call/call3.ans ``` ## 说明/提示 **【样例 #1 解释】** $1$ 号函数功能为将 $a_1$ 的值加一。$2$ 号函数功能为所有元素乘 $2$。$3$ 号函数将先调用 $1$ 号函数，再调用 $2$ 号函数。 最终的函数序列先执行 $2$ 号函数，所有元素的值变为 $2, 4, 6$。 再执行 $3$ 号函数时，先调用 $1$ 号函数，所有元素的值变为 $3, 4, 6$。再调用 $2$ 号函数，所有元素的值变为 $6, 8, 12$。 **【数据范围】** | 测试点编号 | $n, m, Q \le$ | $\sum C_j$ | 其他特殊限制 | | :----------: | :----------: | :----------: | :----------: | | $1 \sim 2$ | $1000$ | $= m - 1$ | 函数调用关系构成一棵树 | | $3 \sim 4$ | $1000$ | $\le 100$ | 无 | | $5 \sim 6$ | $20000$ | $\le 40000$ | 不含第 $2$ 类函数或不含第 $1$ 类函数 | | $7$ | $20000$ | $= 0$ | 无 | | $8 \sim 9$ | $20000$ | $= m - 1$ | 函数调用关系构成一棵树 | | $10 \sim 11$ | $20000$ | $\le 2 \times 10^5$ | 无 | | $12 \sim 13$ | $10^5$ | $\le 2 \times 10^5$ | 不含第 $2$ 类函数或不含第 $1$ 类函数 | | $14$ | $10^5$ | $= 0$ | 无 | | $15 \sim 16$ | $10^5$ | $= m - 1$ | 函数调用关系构成一棵树 | | $17 \sim 18$ | $10^5$ | $\le 5 \times 10^5$ | 无 | | $19 \sim 20$ | $10^5$ | $\le 10^6$ | 无 | 对于所有数据：$0 \le a_i \le 10^4$，$T_j \in \{1,2,3\}$，$1 \le P_j \le n$，$0 \le V_j \le 10^4$，$1 \le g^{(j)}_k \le m$，$1 \le f_i \le m$。
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