一个神奇的Hessian矩阵以及其逆

最新推荐文章于 2025-06-22 04:23:58 发布
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本文探讨了一种特殊的Hessian矩阵，其对角线元素为1，其余元素为ki*kj/n的形式。通过分析该矩阵的逆，发现了逆矩阵中元素与原始矩阵参数间的线性关系，这为解决相关线性方程提供了新的思路。

给出这样一个带参数的Hessian 矩阵， 所有的对角线元素为1, 其余的元素为ki*kj/n的形式。这样，从每一行看，会发现除了对角线上的那一个元素，其它的都是某个ki因子的倍数。比如说，当它是4x4时候，看上去是这样的：


然后我们来看一下它的逆是什么样子的（在过去，这基本不可能，但是时代不同了，感谢智能科学的发展）：




现在，注意观察一下这个逆有什么特点？你会发现，第一行中x是线性出现的，第二行中y是线性出现的。。。这说明什么？假设我们在解一个关于这种Hessian矩阵的线性方程，那么xi对应的解就是ki的线性函数（或者说线性变换）！这意味着我们可以预先确定解的形式，然后用待定系数法来求解这样的方程。

比如说，我可以令xi = aki+b, 或者更高级的 xi = (1+ki)a/2+(1-ki)b/2 (这种形式对于求解这样的方程会高效一点)。


关于这种解和参数之间的线性对偶关系怎么证明的，有待以后研究。。。

克服牛顿法对Hessian矩阵求逆的困难
weixin_50547796的博客
03-19 705
牛顿法是一种高效的优化算法，它在许多领域都有着广泛的应用，如机器学习、统计、以及科学计算等。然而，传统的牛顿法在每一步迭代中都需要计算Hessian矩阵（二阶导数矩阵）的逆，这在计算上是非常昂贵的，特别是在处理大规模问题时。为了克服这个困难，人们提出了多种策略，包括拟牛顿法、共轭梯度法等。
最优化学习笔记(十六)——拟牛顿法(2)
chunyun0716的专栏
01-01 1715
Hessian矩阵逆矩阵的近似一、拟牛顿法的基本思路    令H0,H1,H2,…\boldsymbol{H_0,H_1, H_2}, \dots表示Hessian矩阵逆矩阵F(x(k))−1\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}^{(k)})^{-1}的一系列近似矩阵。我们要讨论的是这些近似矩阵应该满足的条件，这是拟牛顿法的基础。首先，假定目标函数ff的Hessian矩阵F(x
海塞矩阵（Hessian matrix）全解
笔记
12-20 8469
通过计算图和链式法则，自动微分可以高效地计算出函数 f 对于输入变量 x 和 y 的导数，同理基于f’(x)和f’(y)，求二阶导数，而无需手动推导导数表达式。因此，在实际应用中需要综合考虑问题的特点来选择合适的优化算法和方法。在这个示例中，我们使用Autograd库来计算函数 ( f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2 ) 的一阶导数和二阶导数，并将其组合成海塞矩阵。其中，(*) 表示乘法操作，(+) 表示加法操作，(x) 和 (y) 分别表示输入的变量 x 和 y，(f) 表示函数的输出。
线性代数——2.1逆矩阵
最新发布
Rhett_Butler0922的博客
06-22 850
考虑线性变换 Y=AXY=AXY=AX。如果 AAA 是一个方阵，并且其行列式不为零（∣A∣≠0|A| \neq 0∣A∣=0），那么我们可以找到一个逆变换 X=BYX=BYX=BY。这意味着矩阵 BBB 使得 AB=EAB=EAB=E 且 BA=EBA=EBA=E，其中 EEE 是单位矩阵。这个 BBB 就是 AAA 的逆矩阵，记作 A−1A^{-1}A−1。定义 设 AAA 为 nnn 阶方阵。如果存在一个 nnn 阶方阵 BBB 使得 AB=BA=EAB=BA=EAB=BA=E，那么称 AAA 是可
二阶优化方法——牛顿法、拟牛顿法(BFGS、L-BFGS)
ty44111144ty的博客
09-21 8389
原文地址：二阶优化方法——牛顿法、拟牛顿法(BFGS、L-BFGS) 欢迎关注我的公众号，微信搜algorithm_Tian或者扫下面的二维码~ 现在保持每周更新的频率，内容都是机器学习相关内容和读一些论文的笔记，欢迎一起讨论学习~ 对于逻辑回归和最大熵模型等以似然函数为最优化目标的问题，一般常用的求解方法有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。梯度下降法是一阶优化方法。牛顿法和拟牛顿法是...
学习笔记(04):程序员的数学：优化理论-克服牛顿法对Hessian矩阵求逆的困难-02
weixin_44265377的博客
05-21 252
程序员的数学-优化理论
学习笔记(03):程序员的数学：优化理论-克服牛顿法对Hessian矩阵求逆的困难-01
weixin_44265377的博客
05-21 299
程序员的数学-优化理论
关于Hessian矩阵
pilipala2016的博客
03-23 2102
Hessian矩阵是和二阶导数相关的东东，经常在Taylor二次展开、Newton法等出没。以前一直以为它就是一个普通的二次求导呗，直到有一天看一篇文献十分费解。现在终于恍然大悟，没有注意到陷阱！ 1. 变量是向量x：（注意f（x）是实值函数哦） 一阶导数：                                     二阶导数： 也就是Hessian矩阵，实际上是一
逆秩2修正方法：Hessian逆在推荐系统中的优化
AI天才研究院
01-05 475
1.背景介绍 推荐系统是现代互联网企业的核心业务之一，其主要目标是根据用户的历史行为、兴趣和需求，为其推荐相关的商品、服务或内容。在过去的几年里，推荐系统的研究和应用得到了广泛的关注和发展。然而，随着数据规模的不断扩大和用户需求的变化，推荐系统的挑战也不断增加。 在推荐系统中，优化问题是一个关键的研究方向。为了提高推荐质量，我们需要解决如何在有限的计算资源和时间内，找到一个近似全局最优的推荐解...
sift算法搭建（上半部，五，求二阶三阶黑塞矩阵的逆程序对比，c#实现）
ganggangwawa的博客
10-09 772
先看二阶黑塞矩阵： private void 二阶黑塞矩阵的逆(ref double a,ref double c,ref double b,ref double d) {//未考虑bc-ad==0 //因为黑塞矩阵的逆*黑塞矩阵=单位矩阵 //a c*AA CC=1 0 //b d BB DD 0 1 //a*AA+c*BB=1; //b*AA+d...
【概括性记录/讲解】信息矩阵、Hessian矩阵、协方差的逆
铃灵狗的水墨书乡
03-09 3872
在最大后验估计中 如果分布为高斯分布 信息矩阵 = 协方差的逆 多元变量x x又两部分组成： 它的协方差矩阵为： 其中： 它的信息矩阵就是协方差矩阵的逆： 作用：便于计算边界概率和条件概率 但边际概率对于协方差矩阵的操作是很容易的，但不好操作信息矩阵。条件概率恰好相反，对于信息矩阵容易操作，不好操作协方差矩阵。 Hessian矩阵在最大似然问题中（MLE）约等于信息矩阵 直接反映到最小二乘的问题上： 这里的 H 也被称为信息矩阵 个人理解这个信息矩阵和上一个信息矩阵虽然叫一个名 但是可以理解成两个
信息矩阵、hessian矩阵与协方差矩阵
weixin_41469272的博客
02-23 2085
由此，我们便可以具体看出hessian矩阵与协方差矩阵之间的联系，当我们需要边缘化marginalize一个变量时，可以将信息矩阵求逆转化为相关的协方差矩阵，然后剔除掉变量后，再次求逆得到新的信息矩阵。如此我们可以将问题转化为一个最小二乘问题，同时我们看出信息矩阵与协方差的数学意义。本节探讨信息矩阵、hessian矩阵与协方差矩阵的关系，阐明边缘化的原理。，提取与b无关的矩阵A，再对A求逆，即得到marg 后的信息矩阵。以Marg b为例：需要先将信息矩阵(此例中为。)求逆，得协方差矩阵。
hessian矩阵
piaodexin的博客
08-20 2143
黑塞矩阵（Hessian Matrix）， 又译作海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等，是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率。黑塞矩阵最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto Hesse提出，并以其名字命名。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题。 函数方程为y=f(x1,x2,x3,.......xn),则hessian矩阵就是：因为求导的顺序不影响最终结果，所以它
【机器学习基础】Hessian矩阵
天堂的鸽子
10-16 5544
本系列为《模式识别与机器学习》的读书笔记。 一，Hessian 矩阵 反向传播也可以⽤来计算误差函数的⼆阶导数，形式为 ∂2E∂wji∂wkl \frac{\partial^{2}{E}}{\partial{w_{ji}}\partial{w_{kl}}} ∂wji​∂wkl​∂2E​ 注意，有时将所有的权值和偏置参数看成⼀个向量（记作 w\boldsymbol{w}w ）的元素 wiw_iw...
机器学习--牛顿方法
lyc0424的博客
03-10 550
牛顿法 牛顿法是为了求解函数值为零的时候变量的取值问题的，具体地，当要求解 f(θ)=0时，如果 f可导，那么可以通过迭代公式。 当θ是向量时，牛顿法可以使用下面式子表示： 其中H叫做海森矩阵，H (-1) 表示的是海森矩阵的逆矩阵 ，其实就是目标函数对参数θ的二阶导数。 牛顿法的优点： 牛顿法收敛速度相比梯度下降法很快，而且由于海森矩阵的的逆在迭代中不断减小，起到逐渐...
【傻瓜攻略】深度学习之海森矩阵（九）
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本来这一章应该接着上一章进行优化算法的介绍的。但是，后来我发现接下去的很多算法都是与海森矩阵紧密相关的，所以在这一章先介绍海森矩阵，牛顿算法这些，然后再接着介绍剩余的优化算法。话不多说，下面开始：1、海森矩阵 Hessian Matrix海森矩阵是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵，函数为：海森矩阵和牛顿法密切相关。可以利用海森矩阵进行多元函数的极值判断。参考：https://b...
机器学习-牛顿迭代法原理和公式推导
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wenzishou的专栏
06-16 6191
转自 http://www.cnblogs.com/liuwu265/p/4714396.html  ，侵删 网上查拟牛顿法的推导，找到一个感觉比较容易读懂的，保存下来 针对牛顿法中海塞矩阵的计算问题，拟牛顿法主要是使用一个海塞矩阵的近似矩阵来代替原来的还塞矩阵，通过这种方式来减少运算的复杂度。其主要过程是先推导出海塞矩阵需要满足的条件，即拟牛顿条件（也可以称为拟牛顿方程）。然
python中如何计算hessian矩阵的逆矩阵
04-17
<think>好的，我现在需要解决用户的问题：如何在Python中计算Hessian矩阵的逆矩阵。首先，我得理清Hessian矩阵的计算步骤，然后才是逆矩阵的计算。用户可能已经知道Hessian矩阵是什么，但可能需要确认一下步骤是否正确。 首先，Hessian矩阵是二阶偏导数组成的矩阵，通常用于优化算法中，比如牛顿法。计算Hessian矩阵的逆矩阵通常是为了应用牛顿法中的更新步骤。所以，用户可能在处理优化问题，需要用到这样的计算。 接下来，用户的问题是如何在Python中实现。根据用户提供的引用，有几个可能的库可以使用，比如PyTorch、SymPy和TensorFlow。我需要分别考虑这些库的方法，然后给出具体的步骤。 首先看引用[1]提到使用PyTorch的自动微分机制计算Hessian矩阵。例如，使用torch.autograd.grad函数两次，或者使用更高阶的函数。然后引用[3]中的代码示例展示了如何计算Hessian矩阵，通过一阶导数的梯度再次求导。这可能是一个方法，先计算Hessian矩阵，再用torch.inverse()或其他方法求逆。 另外，引用[2]提到使用SymPy的hessian函数，可以符号化地计算Hessian矩阵，然后转换为数值矩阵，再利用NumPy或SymPy的逆矩阵函数。这可能适合符号计算的情况，比如需要精确的表达式。 再引用[4]提到TensorFlow中处理高阶导数的问题，可能涉及到计算Hessian矩阵的方法，不过用户的问题可能更偏向于PyTorch和SymPy，因为之前的例子更多涉及这两个库。 所以，可能的解决方案分几个步骤： 1. 使用PyTorch计算Hessian矩阵，然后求逆。 2. 使用SymPy符号化计算Hessian矩阵，再进行数值逆矩阵计算。 3. 结合NumPy进行逆矩阵的计算，如果Hessian矩阵已经以数组形式存在。 需要考虑的问题包括：数值稳定性，矩阵是否可逆，以及不同库之间的兼容性。 比如，在PyTorch中，计算Hessian矩阵后，可能需要将其转换为NumPy数组，再使用NumPy的线性代数模块求逆，或者直接在PyTorch中使用torch.inverse()。但需要注意，如果Hessian矩阵是稀疏的或者条件数不好，求逆可能会有数值问题，比如奇异矩阵无法求逆，这时候需要处理异常情况。 此外，用户可能需要知道如何验证Hessian矩阵是否正确，以及逆矩阵是否正确。比如，检查矩阵是否对称，是否正定（对于凸函数的情况），或者通过乘以原矩阵是否得到单位矩阵来验证逆矩阵的正确性。 现在，我需要整理这些步骤，给出具体的代码示例，并指出不同方法的适用场景。例如，符号计算适合小规模问题，而自动微分适合大规模或需要GPU加速的情况。 另外，用户的问题可能还涉及实际应用中的注意事项，比如Hessian矩阵的计算效率，内存占用（特别是当参数很多时，Hessian矩阵的存储会很大），以及逆矩阵的计算复杂度（O(n^3)）。 因此，在回答中需要分步骤说明不同方法，并给出示例代码，同时提醒用户可能遇到的常见问题，比如矩阵不可逆时的处理方法，或者使用伪逆的情况。 可能的步骤： 方法一：使用PyTorch计算Hessian矩阵并求逆 - 定义变量和函数 - 计算一阶梯度 - 遍历每个梯度元素计算二阶导数得到Hessian矩阵 - 使用torch.inverse()求逆 方法二：使用SymPy符号计算Hessian并求逆 - 定义符号变量 - 定义函数表达式 - 计算Hessian矩阵 - 转换为数值矩阵后使用NumPy求逆 方法三：使用NumPy直接处理已有的Hessian矩阵 - 假设Hessian矩阵已经存在，作为NumPy数组 - 使用numpy.linalg.inv()求逆 每个方法都要给出代码示例，并说明注意事项。例如，在PyTorch中，需要保留计算图以便多次求导；在SymPy中，符号表达式转换为数值矩阵可能需要替换变量为具体数值；在NumPy中，要确保矩阵可逆。 此外，需要指出不同方法的优缺点：符号计算准确但计算量大，适合小规模问题；自动微分适合大规模问题，但需要框架支持；直接使用数值方法需要先有Hessian矩阵的数据。 最后，提醒用户在实际应用中，Hessian矩阵可能很大，求逆计算成本高，可以考虑使用迭代方法或其他优化技巧，如共轭梯度法，而不是显式求逆。或者，在深度学习中，使用近似方法如Hessian-free优化。 现在需要将这些思考整理成结构化的回答，分步骤说明，并给出相关代码示例，同时引用提供的参考资料中的信息，如引用[1]和[3]中的PyTorch方法，引用[2]中的SymPy方法，引用[4]中的TensorFlow处理方式（虽然用户的问题可能不需要，但可以提一下）。 此外，用户的问题可能隐含了应用场景，比如在优化算法中使用Hessian逆矩阵，这时候可能需要提到牛顿法作为应用场景，并说明Hessian逆的作用。 在代码部分，需要确保语法正确，如PyTorch中requires_grad的设置，正确使用autograd.grad函数，以及正确处理梯度的拼接。例如，引用[3]中的代码，通过循环每个一阶导数的元素，再次求导得到Hessian矩阵的行，然后将这些行合并成矩阵。之后调用torch.inverse即可。 另外，需要注意，当使用自动微分框架时，Hessian矩阵的计算可能比较耗时，尤其是当参数数量很大时，因为Hessian的大小是n x n，n是参数的数目。例如，在神经网络中，参数可能上百万，这时候计算Hessian矩阵不可行。但在用户的问题中，可能处理的是较小规模的问题，比如优化几个变量的函数，所以示例中的方法适用。 最后，可能需要提到数值稳定性问题，例如在矩阵接近奇异时，求逆会带来数值误差，此时可以考虑添加正则化项（如Hessian + λI）来确保可逆性。</think>在Python中计算Hessian矩阵的逆矩阵需要分两步：**先计算Hessian矩阵，再求其逆矩阵**。以下是三种常用方法，涵盖符号计算、自动微分和数值计算框架。 --- ### 方法一：使用PyTorch自动微分（适用于数值计算） **步骤说明**： 1. 定义输入变量并启用梯度追踪。 2. 定义目标函数。 3. 通过两次梯度计算构造Hessian矩阵。 4. 使用`torch.inverse()`求逆矩阵。 **示例代码**： ```python import torch # 定义变量和函数 x = torch.tensor([1.0, 2.0], requires_grad=True) b = torch.tensor([3.0, 4.0]) A = torch.tensor([[2.0, 1.0], [1.0, 3.0]]) def f(x): return b @ x + 0.5 * x @ A @ x # 计算一阶导数（梯度） y = f(x) grad = torch.autograd.grad(y, x, create_graph=True)[0] # 计算Hessian矩阵 hessian = torch.zeros((len(x), len(x))) for i in range(len(x)): hessian[i] = torch.autograd.grad(grad[i], x, retain_graph=True)[0] # 求逆矩阵 hessian_inv = torch.inverse(hessian) print("Hessian逆矩阵:\n", hessian_inv) ``` **注意**： - 需要保留计算图（`retain_graph=True`）以支持多次求导[^3]。 - 若Hessian矩阵不可逆（如奇异矩阵），需添加正则化项（如`hessian + 1e-3 * torch.eye(n)`）。 --- ### 方法二：使用SymPy符号计算（适用于解析表达式） **步骤说明**： 1. 定义符号变量。 2. 构建目标函数表达式。 3. 调用`hessian()`函数生成Hessian矩阵。 4. 转换为NumPy数组后求逆。 **示例代码**： ```python import sympy as sp import numpy as np # 定义符号变量和函数 x1, x2 = sp.symbols('x1 x2') f = x1**2 + sp.log(x2) # 计算Hessian矩阵 H_sym = sp.hessian(f, (x1, x2)) # 转换为数值矩阵（假设x1=1, x2=2） H_numeric = np.array(H_sym.subs({x1: 1, x2: 2}), dtype=float) H_inv = np.linalg.inv(H_numeric) print("Hessian逆矩阵:\n", H_inv) ``` **注意**： - 符号计算适用于小规模问题，可生成解析表达式[^2]。 - 替换符号变量为具体数值后才能求数值逆矩阵。 --- ### 方法三：使用NumPy直接求逆（已有Hessian矩阵） **步骤说明**： 1. 将Hessian矩阵转换为NumPy数组。 2. 调用`numpy.linalg.inv()`函数求逆。 **示例代码**： ```python import numpy as np # 假设已有Hessian矩阵 H = np.array([[2.0, 1.0], [1.0, 3.0]]) # 求逆矩阵 try: H_inv = np.linalg.inv(H) except np.linalg.LinAlgError: print("矩阵不可逆，需添加正则化项") ``` **注意**： - 需处理矩阵不可逆的异常情况。 - 可通过`np.linalg.pinv()`计算伪逆矩阵（适用于病态矩阵）。 --- ### 应用场景与注意事项 1. **优化算法**：如牛顿法中需用Hessian逆矩阵更新参数[^3]。 2. **性能问题**：Hessian矩阵的存储和求逆复杂度为$O(n^3)$，大规模问题需使用近似方法（如BFGS）。 3. **数值稳定性**：添加微小单位矩阵（$H + \epsilon I$）可避免奇异矩阵问题[^4]。 ---
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