关于协变矢量和逆变矢量的直观理解

对于某个外部观测系来说，它可以看到所有的坐标系，坐标系之间的变化，以及对应的基的变化。那么这时就有两种情况，第一种是存在一个客观的对象，相对于外部观测系来说是恒定不变的，比如一座客观存在的山的高度。那么，无论内部坐标系如何去定义，它们只是在定义测量的方法，而这个客观存在的个体的客观性不会改变。因此，所有的坐标系都会尽其可能的去正确的描述这种客观性。所有的表述都应当具有一致性，但是由于坐标系的选取不同，所以表述方式必然不同。

为了保证描述的一致性，我们要求对山的描述在外部观测系看起来是不变的，就好比在一个以cm为单位的坐标系中，测量出了一段距离是100cm，那么在另一个以m为单位的坐标系中，这个结果就应当是1。这种相对于外部观测系不变的，确依据内部所选坐标系不同而发生变化以保证一致性的量，就叫做逆变量，如果这个描述是一个矢量，那它就是逆变矢量。一个典型的例子就是一小段位移dx，这个量是一个客观的量，不应该因为测量方式不同而改变其客观性。

而另外一种情况就是主观的测量结果，这个结果依据坐标系的变化而变化。比如说山的形状或者说山坡的倾斜程度。简单的说，在外部观测系看来，内部的坐标系千奇百怪，但是从内部观测者来看，自己的坐标系始终是“直的”，千奇百怪的反而是那个被测量的对象，比如说那座山。所以测得的坡度必定也是主观的，也许是由于坐标系的选取导致一个本来不陡的地方看上去很陡。这种随着测量坐标系的选取不同而测量结果也发生变化的量，我们叫做协变量，如果是一个矢量，则是协变矢量。

逆变量的客观性由其自生的性质就能保证，至少从外部观测系看来，那是一个恒定的值，无论坐标系如何变化。但是协变量的客观性就不那么明显了，因为没有一个客观的标准，所以这个量从一开始就是主观的，随着坐标系变化而变化的。比如说梯度就是这样一个量。那么，我们只能人为的去定义一个标准，也就是决定哪一个坐标系是测量的标准，然后通过这个标准坐标系来修正别的坐标系中测得的量。

通常，一个坐标系的所有几何信息可以被度规G来描述，假设从标准坐标系到任意坐标系的雅可比矩阵为J，则新坐标系的度规可以描述为G=J'G_0J，其中G_0为标准坐标系的度规。那么新坐标系中所测得的梯度D可以由G^-1D来修正回标准坐标系度规G_0下的梯度（自然梯度）。

举例：椭圆到圆的变换，纵轴不变，横轴缩小1/2，假设标准系为平面欧系，那么椭圆上梯度为（-1，-1）的点是(a^2/2,b^2/2)。此点经压缩变换成为圆上点（a/2,b/2），所以对应梯度变为（-a,-b）。由此可见梯度已经因为坐标系改变而发生协变。由于标准系为椭圆所在坐标系，在标准系中梯度并不指向坐标原点，而新的坐标系中梯度指向发生变化。所以我们认为新的梯度不再正确，需要通过度规进行修正。在此例中，新系度规为diag(a^2,b^2),所以修正以后梯度还原为(-1/a,-1/b)。可以验证，当方向倒数沿新修正梯度方向移动时，所得位移与标准系中一致，即：(-a,-b)(-1/a,-1/b)=2=(-1,-1)(-1,-1).