对换子的深层含义

对换子操作和求根符号其实就是一枚硬币的两个面，其本质是同一个东西。因为求根符号的存在，使得区分两个根成为可能，所以一切对换子都必须可以拆解为对两个根的对调。换句话说，伽罗瓦群中的一切置换都可以写成对两个根对调的序列，否则它就不是伽罗瓦群。

然而，必定存在某些置换，他们不是对调，比如说一次性换三个根或者五个跟的那种。这些操作也可以写成对换子的形式，也就是执行某种操作，执行另外某种操作，再逆执行之前的操作，这也是一种广义的对换子。同样可以保证潜在求根公式的相位不改变。所以只要再保证经过这一系列操作后，所有的根都可以归位，则求根公式依然存在。

所以，理论上我们可以定义一个新的算符，它类似于求根算符，但是求根算符只能区分2个根，这个新算符可以区分，比如说，5个根。那么将中所有的置换都看成是合法的对根的互换操作，则依然能写出求根公式。

这就是布林根式BR的原理了。

那么执着于寻找普通的求根公式的表达式，而不去想这种广义求根公式存在的合理性，未免过于狭隘了。既然我们习惯用来表示的根，那为什么不习惯用BR(2)来表示的根呢？把数域分为实数，有理数，无理数是不是太过笼统了（剩下的不知道的都叫超越数了）?

补充：

为什么一定要是对换子？如果说只考虑进行某种操作然后再复原某种操作，那样的组合很多，那么为什么一定要特别关注对换子呢？这个问题我思考了很多天，直到最近我突然想明白了！这一切都是为了满足交换律！也就是说，不论怎么操作，操作顺序改变不应该影响最终结果。这就是根式的性质，不论什么顺序换根，最终的结果是一样的。这也就是为什么根式满足交换律。而为了满足交换律，首先就必须满足正规子群性，也就是xH=Hx。但是光这样还不够,还需要一种更强的交换性，这就是xHyH=yHxH, 二者相结合就有xyx^y^ in H.这就是对换子的起源了！