为什么压缩感知用L1范数能够还原稀疏解？

这个问题我思考了几天了，直到方才，我才突然把所有的逻辑因果串在一起，这个note的目的就是把这些思绪整理并纪录下来：

我之前说这和高维超正轴体的空间形态有关，那种描述虽然形象，但是却缺乏数学依据，并不是非常经得起推敲。我也尝试仅仅用那种十分pointy的几何结构来说服自己，但是做不到。所以我去翻看了Donoho的论文（这好像是并未发表的草稿，我在Donoho的服务器上搜到，但是这一思想的起源应该正是此处：for Most Large Underdetermined Systems of Linear Equations the Minimal l1-norm Solution is also the Sparsest Solution），当然还查了其它的资料。。。那些晦涩的数学推理演算简直是噩梦，所以直到方才我才得以把所有逻辑联系起来，从思维的源头来还原这一思想的初始形态：

首先，最为重要的一点，也是我之前忽略的一点，那就是最初的那个同构映射！这个才是连接所有问题的关键，高维空间中这个理论得以成立，也正是因为维度越高，取到的随机矩阵M（也就是映射F）成为一个同构映射的概率也越大。这也就是为什么要长篇大论的讨论RIP，2S－sparse，3S－sparse。。。

接下来，那个可行解空间构成的超平面其实是和M（或者F）直接相关的，因为它就是y=Mx。好了，我们有了同构映射，什么是