04 拉普拉斯变换

Thomas_cannon

于 2024-10-28 16:03:19 发布

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基本函数的拉氏变换

一、幂函数

$f(t)=t^n\qquad\qquad F(s)=\frac{n!}{S^{n+1}}$

$f(t)=1(t)或者H(t)\qquad\qquad F(s)=\frac1s$ #电网络重点
函数图像如下：

这是最基本的阶跃函数，如果阶跃不在0点，如下图所示：

则可以写成 $f (t) = 1 (t - 3) 或者 H (t - 3)$

如果变成组合的阶跃函数，如下图所示：

则可以写成 $f (t) = H (t + 2) - H (t - 5)$

$f(t)=t\qquad\qquad F(s)=\frac{1}{s^2}$ #电网络重点
$f(t)=\frac{1}{2}t^{2}\qquad\qquad F(s)=\frac{1}{s^3}$ #电网络重点

例题

$f(t)=t^5\Longrightarrow F(s)=\frac{5!}{s^6}$
拉式反变换： $L^{-1}$ 表示反变换
- $L^{-1}\begin{Bmatrix}\frac{3}{s^8} \end{Bmatrix}=L^{-1}\begin{Bmatrix}\frac{3}{7!} \frac{7!}{s^8} \end{Bmatrix}=\frac{3}{7!}t^7$
- $L^{-1}\begin{Bmatrix}\frac{5}{s^{10}} \end{Bmatrix}=L^{-1}\begin{Bmatrix}\frac{5}{9!} \frac{9!}{s^{10}} \end{Bmatrix}=\frac{5}{9!}t^9$

二、其他函数

$f(t)=\partial(t)\qquad\qquad F(s)=1$ #电网络重点
$f(t)=e^{at}(t≥0)\qquad\qquad F(s)=\frac1{s-a}$ #电网络重点
例子： $L(e^{3t})\to\frac1{s-3}\quad L(e^{-5t})\to\frac1{s+5}$
$f(t)=\cos(wt)\qquad\qquad F(s)=\frac{s}{s^{2}+w^{2}}$ #电网络重点
$f(t)=\sin(wt)\qquad\qquad F(s)=\frac{w}{s^{2}+w^{2}}$ #电网络重点
$\begin{aligned}例子：&\cos3t\to\frac s{s^2+9}\\&\sin5t\to\frac5{s^2+25}\end{aligned}$

例题

$\begin{aligned} (1)&L^{-1}\{\frac s{s^2+16}\}\to\cos4t\\ (2)&L^{-1}\{\frac s{s^2+29}\}\to\cos(\sqrt{29}t)\\ (3)&L^{-1}\{\frac5{s^2+25}\}\to\sin(5t)\\ (4)&L^{-1}\{\frac5{s^2+29}\}\to L^{-1}\{\frac5{\sqrt{29}}\frac{\sqrt{29}}{s^2+29}\}=\frac5{\sqrt{29}}\sin\sqrt{29}t\\ (5)&L\{-2\cos2t+3\sin2t\}\\ &=-2\frac{s}{s^2+4}+3\frac{2}{s^2+4}\\ &=\frac{-2s+6}{s^2+4}\\ (6)&L^{-1}\{\frac{s+4}{s^2+4}\}\\ &=L^{-1}\{\frac{s}{s^2+4}+2\frac{2}{s^2+4}\}\\ &=\cos2t+2\sin2t\\ (7)&L\{2e^{-4t}+3\cos5t+4\sin3t+t^5+5\partial(t)\}\\ &=2\frac{1}{s+4}+3\frac{s}{s^2+25}+4\frac{3}{s^2+9}+\frac{5!}{s^6}+5\\ (8)&L^{-1}\{\frac{3}{s+5}+\frac{2s}{s_2+16}+\frac{5}{s^2+16}+6+\frac{7}{s^6}\}\\ &=3e^{-5t}+2\cos4t+\frac54\sin4t+6\partial(t)+\frac{7}{5!}t^5\\ \end{aligned}$

拉氏变换的特征

一、线性特性 #电网络重点

$L\{af(t)+bg(t)\}=aF(s)+bG(s)$

二、第一移位定理 #电网络重点

$f(t)\to F(s)\qquad\qquad L\{e^{at}\cdot f(t)\}=F(s-a)$

例题

$\begin{aligned} (1)&L\{e^{2t}\cos2t\}\\&=\frac{(s-2)}{(s-2)^{2}+4}\\ (2)&L\{e^{-3t}\sin3t\}\\&=\frac3{(s+3)^2+9}\\ (3)&L^{-1}\{\frac{s+2}{s^{2}+4s+13}\}\\ &=L^{-1}\{\frac{s+2}{{(s+2)}^{2}+9}\}\\ &=L^{-1}\{\frac{u}{{u}^{2}+9}\}\\ &=\cos3t·e^{-2t}\\ (4)&L^{-1}\{\frac{2s+3}{s^{2}+2s+10}\}\\ &=L^{-1}\{\frac{2(s+1)+1}{{(s+1)}^{2}+9}\}\\ &=L^{-1}\{2\frac{s+1}{{(s+1)}^{2}+9}+\frac13\frac{3}{{(s+1)}^{2}+9}\}\\ &=2\cos3t·e^{-t}+\frac13\sin3t·e^{-t}\\ \end{aligned}$

二、第二移位定理 #电网络重点

$f(t)\rightarrow F(s)\qquad\qquad L\{f(t-a)\cdot H(t-a)\}=F(s)\cdot e^{-as}$

例题

$\begin{aligned} (1)&L\{\sin2t·H(t-2\pi\}\\ &=L\{\sin2(t-2\pi)·H(t-2\pi)\}\\ &=\frac2{s^2+4}·e^{-2\pi s}\\ (2)&L\{t·H(t-5\}\\ &=L\{(t-5+5)·H(t-5)\}\\ &=L\{(t-5)·H(t-5)\}+L\{5·H(t-5)\}\\ &=\frac1{s^2}·e^{-5s}+5·\frac1s·e^{-5s}\\ (3)&L^{-1}\{e^{-3s}\frac{s}{s^2+16}\}\\ &=\cos4(t-3)·H(t-3)\\ \end{aligned}$ —