08 电网络-状态变量分析法

概念

状态

如果用来描述电路的最少的一组数据满足下列两个条件，则称之为电路的状态：

1. 对于某一任意的时刻，比如说$t_0$，可以根据$t_0$时刻的状态以及$t\ge t_0$时的输入来唯一地确定$t\ge t_0$的任一时刻的输出状态；
2. 根据在$t$时刻的状态及t时刻的输入（或者输入的某些导数）能够唯一地确定在$t$时刻的任一电路变量的值(包括输出的值)。
   上述定义也可以理解为：一个动态电路在$t$时刻的状态，是由参考时间$t_0$的状态和$t\ge t_0$时刻的输入来唯一地加以决定的，与时刻$t_0$之前的状态和输入无关。
   在研究时不变电路时，通常取参考时间$t_0$=0。
   电路的状态实质上是指电路的储能状况。

状态变量

动态电路的状态变量是确定电路动作行为的最少一组变量。
如果能以最少的n个变量 $x_1(t)、x_2(t)、...、x_n(t)$来描述一个动态电路的行为，那么这样的n个变量称为与问题有关的一组状态变量。初始时刻$t=t_0$的状态变量$x_1(t_0)、x_2(t_0)、...、x_n(t_0)$代表了电路在$t=t_0$时刻的状态，被称为初始状态。
如果将$x_1(t)、x_2(t)、...、x_n(t)$作为向量$x_n(t)$的各个分量，则称$x_n(t)$为与问题有关的状态向量。
以状态向量的各个分量$x_1、x_2、...、x_n$为轴所构成的n维欧式空间称为状态空间。这样，任意一个状态都可以用状态空间中的一个点来表示。

状态方程和输出方程

x ˙ = A x + B u x = { x 1 , x 2 , . . . , x n } T x ˙ = { d x 1 d t , d x 2 d t , . . . , d x n d t } T \begin{aligned} &\dot{x}=Ax+Bu \\ &x=\{x_1,x_2,...,x_n\}^T\\ &\dot{x}=\{\frac{dx_1}{dt},\frac{dx_2}{dt},...,\frac{dx_n}{dt}\}^T \end{aligned} ​x˙=Ax+Bux={ x1​,x2​,...,xn​}Tx˙={ dtdx1​​,dtdx2​​,...,dtdxn​​}T​
式中A为系数矩阵，B为控制矩阵，x为状态向量，u为控制量(即输入电压源、电流源)。
在实际应用中,感兴趣的量不一定是状态变量,这就要求导出输出与状态变量和输入之间的关系。这种联系输出和状态变量、输入之间的关系式称为电路的输出方程。对于线性时不变网络,其一般形式为：
$$y=Cx+Du$$
式中y为输出向量，x 为状态向量，u为输入向量，C 和 D 为相应常数系数矩阵。

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状态变量方程的建立

由于电路的储能可用电容电压$u_c$ (或电荷$q_c$ )和电感电流$i_L$ (或磁链${\psi }_L$ )来表征，因此，$u_c$(或$q_c$)和$i_L$(或${\psi }_L$)可以选作电路的状态变量。

网络的复杂度

网络的复杂度，又称网络的复杂性阶数,是动态电路分类的一个依据。它定义为网络中独立初始条件的数目，即独立完备的状态变量数目。

U C 1 + U C 2 + U C 3 + U C 4 = 0 ⟹ 其中任一一个元件可以被其他三个表示，不是独立的 U C 1 + U C 2 + U C 3 = U S （常数） ⟹ 不独立的 注意 : 全电容 ( 含电压源 ) 回路 C