拉普拉斯变换

最新推荐文章于 2024-06-29 18:16:40 发布

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本文深入探讨了拉普拉斯变换的基本概念，包括正变换和逆变换公式，以及常见信号如阶跃函数、指数信号、正弦信号等的拉氏变换表达式。此外，文章还详细介绍了拉氏变换的多种性质，如线性、时域微分、频域微分、延时特性等，为读者提供了全面的理论知识。

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拉普拉斯变换：

正变换： $F(s)=∫0∞f(t)e−stdt=L[f(t)]F(s)=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt=\mathscr{L}[f(t)]$
逆变换： $F(t)=12πj∫σ−j∞σ+j∞F(s)estds=L−1[f(s)]F(t)=\frac{ 1 }{2\pi j }\int_{\sigma- j\infty}^{\sigma+j\infty}F(s)e^{s t}ds=\mathscr{L}^{-1}[f(s)]$
其中：s= $σ+jω{\sigma+j \omega}$
常见信号的拉氏变换：
阶跃函数： $ε(t)\varepsilon(t)$ $←\leftarrow$ $→\rightarrow$ $1s\frac{ 1 }{s }$ Re{s}>0
单边指数信号： $e−αtε(t)e^{-\alpha t}\varepsilon(t)$ $←\leftarrow$ $→\rightarrow$ $1s+α\frac{ 1 }{s+\alpha }$ Re{s}> $−α-\alpha$
单边正弦信号： $sin⁡ωtε(t)\sin \omega t\varepsilon(t)$ $←\leftarrow$ $→\rightarrow$ $ωs2+ω2\frac{ \omega }{s^2+\omega ^2}$ Re{s}>0
单边余弦信号： $cos⁡ωtε(t)\cos \omega t \varepsilon(t)$ $←\leftarrow$ $→\rightarrow$ $ss2+ω2\frac{ s }{s^2+\omega ^2}$ Re{s}>0
单边衰减正弦： $e−αtsin⁡ωtε(t)e^{-\alpha t} \sin\omega t \varepsilon(t)$ $←\leftarrow$ $→\rightarrow$ $ω(s+α)2+ω2\frac{ \omega }{(s+\alpha)^2+\omega^2 }$ Re{s}>- $α\alpha$

t的正幂信号： $tnε(t)t^n \varepsilon(t)$ $←\leftarrow$ $→\rightarrow$ $n!sn+1\frac{n! }{s^{n+1} }$ Re{s}>0
$L[ε(t)]=1s\mathscr{L}[\varepsilon(t)]=\frac{1}{s}$
$L[t]=1s2\mathscr{L}[t]=\frac{1}{s^2}$
$L[tn]=∫0−∞tne−stdt=ns...L[tn−1]=...=n!sn+1\mathscr{L}[t^n]=\int_{0_-}^{\infty} t^n e^{-st} dt=\frac{n }{s}...\mathscr{L}[t^{n-1}]=...=\frac{n! }{s^{n+1} }$
冲激信号： $δ(t)\delta (t)$ $←\leftarrow$ $→\rightarrow$ $1$ Re{s}：（- $∞\infty$ ，+ $∞\infty$ ）
$δ(t−t0)\delta (t-t_0)$ $←\leftarrow$ $→\rightarrow$ $e^{-s t_0}$
$δ′(t)\delta{\prime}(t)$ $←\leftarrow$ $→\rightarrow$ s

拉氏变换性质：
线性： $a_1 f_1(t)+a_2 f_2(t)$ $←\leftarrow$ $→\rightarrow$ $a_1 F_1(s)+a_2 F_2(s)$
时域微分： $df(t)dt\frac{d f(t)}{dt }$ $←\leftarrow$ $→\rightarrow$ $s F(s)-f(0_-)$
$d2f(t)dt\frac{d^2 f(t)}{dt }$ $←\leftarrow$ $→\rightarrow$ $s2F(s)−sf(0−)−f′(0−)s^2 F(s)-sf(0_-)-f{\prime}(0_-)$
$dnf(t)dt\frac{d^n f(t)}{dt }$ $←\leftarrow$ $→\rightarrow$ $s^n F(s)$ - $s^{n-1}f(0_-)$ -…- $f^{(n-1)}(0_-)$
时域积分： $∫−∞tf(τ)dτ\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau$ $←\leftarrow$ $→\rightarrow$ $F(s)s\frac{F(s)}{s }$ + $f(−1)(0−)s\frac{f^{(-1)}(0_-)}{s }$
有始函数： $df(t)ε(t)dt\frac{df(t)\varepsilon(t)}{dt }$ $←\leftarrow$ $→\rightarrow$ $S F (s)$
$∫0−tf(τ)dτ\int_{0_-}^{t}f(\tau)d\tau$ $←\leftarrow$ $→\rightarrow$ $F(s)s\frac{F(s)}{s }$
$\varepsilon(t)=\int_{0_-}^{t}\varepsilon(\tau)d\tau$ $←\leftarrow$ $→\rightarrow$ $1s2\frac{1}{s^2 }$
延时特性(时域平移)： $f(t−t0)ε(t−t0)f(t-t_0)\varepsilon(t-t_0)$ $←\leftarrow$ $→\rightarrow$ $e^{-s t_0}F(s),t_0>0$
S域平移： $f(t)e^{-s t_0}$ $←\leftarrow$ $→\rightarrow$ $F(s+s_0)$
尺度变换： $f (a t)$ $←\leftarrow$ $→\rightarrow$ $1aF(sa),(a>0)\frac{1}{a }F(\frac{s}{a }),(a>0)$
初值定理： $f(0+)=lim⁡t→0+f(t)=lim⁡s→∞sF(s)（当F(s)是真分式时成立）f(0^+)=\lim_{t\rightarrow0_+}f(t)=\lim_{s\rightarrow\infty}sF(s) （当F(s)是真分式时成立）$
终值定理： $f(∞)=lim⁡t→∞f(t)=lim⁡s→0sF(s)（F(s)极点在复频域左半平面）f(\infty)=\lim_{t\rightarrow\infty}f(t)=\lim_{s\rightarrow 0}sF(s) （F(s)极点在复频域左半平面）$
卷积定理：时域 $f_1(t)*f_2(t)$ $←\leftarrow$ $→\rightarrow$ $F_1(s).F_2(s)$
卷积定理：频域 $f_1(t).f_2(t)$ $←\leftarrow$ $→\rightarrow$ $12πjF1(s)∗F2(s)\frac{1}{2\pi j }F_1(s)*F_2(s)$
复频域微分： $- t f (t)$ $←\leftarrow$ $→\rightarrow$ $d(F(s)ds\frac{d(F(s)}{ds}$
复频域微分： $f(t)t\frac{f(t)}{t}$ $←\leftarrow$ $→\rightarrow$ $∫s∞F(η)dη\int_s^{\infty}F(\eta)d\eta$