06 电网络-网络图论和网络方程

基本概念

• 基本割集：单树支割集。
  • 对于具有N个顶点，B条边的连通图G，G中关于任何一个树T的基本割集数为N
• 基本回路：单连支回路。
  • 基本回路数为B-N

图的矩阵表示

1. 关联矩阵A

设有向图G有n个节点,b条支路,且所有的节点和支路都进行编号，则该有向图的==增广关联矩阵==$A_a$为(nxb)阶的矩阵。它的行对应节点，列对应于支路，其任一元素$a_{ij}$定义如下：
$$a_{ij}=\{\begin{array}{l}+1表示支路j与节点i关联.且方向为离开节点，即正向关联\\ -1表示支路j与节点i关联.且方向为指向节点，即反向关联\\ 0表示支路j与节点i非关联\end{array}$$

• 会发现每一列都是-1与1，并且加和为0。
• 其中①+②+③+④=0，意味着其中一行可以用另外三行来表示，可以直接删除一行(相当于选择此节点为参考节点)。删除一行之后的矩阵称为降阶关联矩阵，简称==关联矩阵==，用A表示
• $r(A_a)=n-1$
• $r(A)=n-1$

---

2. 基本回路矩阵B

设有向图G 具有b 条支路，l个基本回路，且所有基本回路和支路均加以编号，则该有向图的基本回路矩阵 Br是一个 lxb 阶的矩阵。$B_f$的行对应于基本回路，列对应于支路。它的任一元素bj定义如下：
$$b_{ij}=\{\begin{array}{l}+1表示支路j与基本回路i关联.且方向为离开节点，即正向关联\\ -1表示支路j与基本回路i关联.且方向为指向节点，即反向关联\\ 0表示支路j与基本回路i无关联\end{array}$$

若把l条连支依次排在$B_f$的第一列至第l列，然后再排树支，并按连支编号从小到大的顺序给对应的基本回路编号，因为基本回路与其中所含连支方向一致。因此，在$B_f$中将出现一个单位矩阵$1_l$，即有:
$$B_f=[1_l:B_l]$$
即变成如下表格

基本回路\支路	1	3	6	2	4	5
1	1	0	0	-1	0	-1
3	0	1	0	-1	-1	0
6	0	0	1	0	1	-1

---

3. 基本割集矩阵Q

设有向图具有n个节点，b条支路。则该图的基本割集数目为(n-1)。将所有支路和基本割集加以编号，则该有向图的基本割集矩阵$Q_f$是一个(n-1)xb阶的矩阵。$Q_f$的行对应于基本割集，列对应于支路。它的任一元素$q_{ij}$定义如下:
$$q_{ij}=\{\begin{array}{l}+1表示支路j与基本割集i关联.且二者方向一致，即正向关联\\ -1表示支路j与基本割集i关联.且二者方向相反，即反向关联\\ 0表示支路j与基本割集i无关联\end{array}$$

如果把（n-1）条树支依次排列在$Q_f$的最后 （n-1）列，并按树支编号从小到大顺序给对应的基本割集编号,考虑到基本割集的方向与其关联的树支方向一致,则在$Q_f$中将出现一个（n-1）阶的单位矩阵$1_t$，即:
$$Q_f=[Q_l:1_t]$$
即变成如下表格

基本割集\支路	1	3	6	2	4	5
2	1	1	0	1	0	0
4	0	1	-1	0	1	0
5	1	0	1	0	0	1

---

矩阵A、B、Q之间的关系

对任一连通图G，在支路和节点编号固定的情况下，矩阵A、 B f