线性与非线性判断
①可以直接带入验证 { α u 1 + β u 2 , α i 1 + β i 2 } = 0 ②验证是否满足 { 齐次性 : { α u 1 , α i 1 } = 0 叠加性 : { u 1 + u 2 , i 1 + i 2 } = 0 ③直接带入 ( 0 ， 0 ) 看是否经过原点，若不经过则一定是非线性的 \begin{aligned} &①可以直接带入验证\{\alpha u_1+\beta u_2,\alpha i_1+\beta i_2\}=0\\ &②验证是否满足\begin{cases}齐次性:\{\alpha u_1,\alpha i_1\}=0\\ 叠加性:\{u_1+u_2,i_1+i_2\}=0 \end{cases}\\ &③直接带入(0，0)看是否经过原点，若不经过则一定是非线性的\\ \end{aligned} ①可以直接带入验证{αu1+βu2,αi1+βi2}=0②验证是否满足{齐次性:{αu1,αi1}=0叠加性:{u1+u2,i1+i2}=0③直接带入(0，0)看是否经过原点，若不经过则一定是非线性的
例题
( 1 ) 例题 : 某元件的电压 u 电流 i 符合下列关系 : f ( u , i ) = i − u + i 2 u = 0 解法一 : 这里使用②方法 假设 { u 1 , i 1 } { u 2 , i 2 } 满足 f ( u , i ) = 0 ∴ α i 1 − α u 1 + α 2 i 1 2 α u 1 = 0 ∴ α i 1 − α u 1 + α i 1 2 u 1 = 0 ∴ 满足齐次性 ∵ i 1 − u 1 + i 1 2 u 1 = 0 ① , i 2 − u 2 + i 2 2 u 2 = 0 ② 要验证叠加性就要 : i 1 + i 2 − ( u 1 + u 2 ) + ( i 1 + i 2 ) 2 u 1 + u 2 = 0 把①②相加得到 : i 1 + i 2 − ( u 1 + u 2 ) + i 1 2 u 1 + i 2 2 u 2 = 0 ∴ 只有 ( i 1 + i 2 ) 2 u 1 + u 2 = i 1 2 u 1 + i 2 2 u 2 才能满足叠加性 ∴ 改元件是非线性的 解法二 : 特殊值法 直接带入 ( 0 , 0 ) 如果不满足，则非线性。 \begin{aligned} &(1)例题:某元件的电压u电流i符合下列关系:\\ &f(u,i)=i-u+\frac{i^2}{u}=0\\ 解法一:&这里使用②方法\\ &假设\{u_1,i_1\}\{u_2,i_2\}满足f(u,i)=0\\ &∴\alpha i_1-\alpha u_1+\frac{\alpha^2i_1^2}{\alpha u_1}=0\\ &∴\alpha i_1-\alpha u_1+\frac{\alpha i_1^2}{ u_1}=0\\ &∴满足齐次性\\ &∵i_1-u_1+\frac{i_1^2}{u_1}=0\quad①\quad,\quad i_2-u_2+\frac{i_2^2}{u_2}=0\quad ②\\ &要验证叠加性就要:i_1+i_2-(u_1+u_2)+\frac{(i_1+i_2)^2}{u_1+u_2}=0\\ &把①②相加得到:i_1+i_2-(u_1+u_2)+\frac{i_1^2}{u_1}+\frac{i_2^2}{u_2}=0\\ &∴只有\frac{(i_1+i_2)^2}{u_1+u_2}=\frac{i_1^2}{u_1}+\frac{i_2^2}{u_2}才能满足叠加性\\ &∴改元件是非线性的\\ 解法二:&特殊值法\\ &直接带入(0,0)如果不满足，则非线性。 \end{aligned} 解法一:解法二:(1)例题:某元件的电压u电流i符合下列关系:f(u,i)=i−u+ui2=0这里使用②方法假设{u1,i1}{u2,i2}满足f(u,i)=0∴αi1−αu1+αu1α2i12=0∴αi1−αu1+u1αi12=0∴满足齐次性∵i1−u1+u1i12=0①,i2−u2+u2i22=0②要验证叠加性就要:i1+i2−(u1+u2)+u1+u2(i1+i2)2=0把①②相加得到:i1+i2−(u1+u2)+u1i12+u2i22=0∴只有u1+u2(i1+i2)2=u1i12+u2i22才能满足叠加性∴改元件是非线性的特殊值法直接带入(0,0)如果不满足，则非线性。
( 2 ) 例题 : 电压源是否是线性的？ 解 : u = u s + 0 i 假设 { u 1 , i 1 } 满足上述等式 则 u 1 = u s + 0 i = u s ∴ 只要验证 { α u 1 , α i 1 } 满足齐次性 : α u 1 = u s + 0 i 1 = u s 显然不成立，因此电压源是非线性的。 \begin{aligned} &(2)例题:电压源是否是线性的？\\ &解:u=u_s+0i\\ &假设\{u_1,i_1\}满足上述等式\\ &则\quad u_1=u_s+0i=u_s\\ &∴只要验证\{\alpha u_1,\alpha i_1\}满足齐次性:\alpha u_1=u_s+0i_1=u_s\\ &显然不成立，因此电压源是非线性的。 \end{aligned} (2)例题:电压源是否是线性的？解:u=us+0i假设{u1,i1}满足上述等式则u1=us+0i=us∴只要验证{αu1,αi1}满足齐次性:αu1=us+0i1=us显然不成立，因此电压源是非线性的。
( 3 ) 例题 : 对于时变电容 q = C ( t ) u , 其电流为 i = d [ C ( t ) u ] d t 设有两个任意的电压 u 1 , u 2 ，则 i 1 = d [ C ( t ) u 1 ] d t i 2 = d [ C ( t ) u 2 ] d t 设 u 3 = α u 1 + β u 2 , 则对应电流为 i 3 = d [ C ( t ) ( α u 1 + β u 2 ) ] d t = d [ α C ( t ) u 1 ] d t + d [ β C ( t ) u 2 ] d t = α i 1 + β i 2 所以，该时变电容是线性元件。 \begin{aligned} (3)例题:&对于时变电容q=C(t)u,其电流为i={\frac{d[C(t)u]}{dt}}\\ &设有两个任意的电压u_1,u_2，则\\ &i_1={\frac{d[C(t)u_1]}{dt}}\\ &i_2={\frac{d[C(t)u_2]}{dt}}\\ &设u_3=\alpha u_{1}+\beta u_{2},则对应电流为\\ &i_{3}=\frac{d[C(t)(\alpha u_{1}+\beta u_{2})]}{dt}=\frac{d[\alpha C(t)u_{1}]}{dt}+\frac{d[\beta C(t)u_{2}]}{dt}\\ &=\alpha i_{1}+\beta i_{2}\\ &所以，该时变电容是线性元件。 \end{aligned} (3)例题:对于时变电容q=C(t)u,其电流为i=dtd[C(t)u]设有两个任意的电压u1,u2，则i1=dtd[C(t)u1]i2=dtd[C(t)u2]设u3=αu1+βu2,则对应电流为i3=dtd[C(t)(αu1+βu2)]=dtd[αC(t)u1]+dtd[βC(t)u2]=αi1+βi2所以，该时变电容是线性元件。
时变性与线性非线性无关
时变性与时不变性
- 对元件的任意容许信号偶{u(t),i(t)}和任意实数T，均存在{u(t-T), i(t-T)}也是该元件的容许信号偶，则称改元件是时不变的，否则称为时变的。
- 如：u=R(t)i——时变
- 如：u=10i——时不变
- 应注意：由==时不变元件构成的网络必定是时不变网络；反之，由时变元件构成的网络不一定是时变网络==。
有源性与无源性
需能（电）源的器件叫有源器件，无需能（电）源的器件就是无源器件。
如果一个线性时不变元件对任意容许信号偶{u(t)，i(t)}和任意的时间t，恒有
W
(
t
)
=
∫
−
∞
t
u
(
τ
)
i
(
τ
)
d
τ
=
W
(
t
0
)
+
∫
0
t
u
(
τ
)
i
(
τ
)
d
τ
≥
0
W(t)=\int_{-\infty}^{t}u(\tau)i(\tau)\operatorname{d}\tau=W(t_{0})+\int_{0}^{t}u(\tau)i(\tau)\operatorname{d}\tau\geq0
W(t)=∫−∞tu(τ)i(τ)dτ=W(t0)+∫0tu(τ)i(τ)dτ≥0
式中
W
(
t
0
)
=
∫
−
∞
t
0
u
(
τ
)
i
(
τ
)
d
τ
W(t_0)=\int_{-\infty}^{t_0}u(\tau)i(\tau)\operatorname{d}\tau
W(t0)=∫−∞t0u(τ)i(τ)dτ为
t
0
t_0
t0时刻元件储存的能量。
则称该元件是无源的，否则称该元件是有源的。
若上述等号仅当u和i同时为零时才成立，则称元件为严格无源的。
这里应该注意，只要找到一组不满足上式的容许信号偶，则可说明元件是有源的。
- 常见的无源元件有：正值电阻、正值电容、正值电感、理想变压器以及伏安特性位于第一、三象限的二端电阻。
- 常见的有源元件有：独立源、负值电阻、负值电容、负值电感、受控源以及伏安特性曲线位于第二、四象限的二端电阻。
电容元件的无源性和有源性
因为电容从没有能量到充满能量，吸收的是电源的能量，在后续放电过程中，放出的能量是之前从电源吸收来的能量，因此电容元件是无源性的。
由于电容元件之间的关系是(u,q)之间的关系，需要转化称为(u,i)关系才能使用上面的式子:
f
(
u
,
q
)
=
0
⟹
u
=
h
(
q
)
W
(
t
)
=
∫
−
∞
t
u
(
τ
)
i
(
τ
)
d
τ
=
∫
−
∞
t
h
(
q
)
d
q
d
τ
d
τ
P
s
:
两个
d
τ
约掉
,
换成
d
q
,
变上下限
=
∫
0
q
(
t
)
h
(
q
)
d
q
\begin{aligned} f(u,q)&=0 \Longrightarrow u=h(q)\\ W(t)&=\int_{-\infty}^{t}u(\tau)i(\tau)\operatorname{d}\tau\\ &=\int_{-\infty}^{t}h(q)\frac{dq}{d\tau}d\tau \qquad Ps:两个d\tau约掉,换成dq,变上下限\\ &=\int_{0}^{q(t)}h(q)dq \end{aligned}
f(u,q)W(t)=0⟹u=h(q)=∫−∞tu(τ)i(τ)dτ=∫−∞th(q)dτdqdτPs:两个dτ约掉,换成dq,变上下限=∫0q(t)h(q)dq
f
(
u
,
q
)
曲线仅位于第一象限
⟹
W
(
t
)
≥
0
f(u,q)曲线仅位于第一象限\Longrightarrow W(t)≥0
f(u,q)曲线仅位于第一象限⟹W(t)≥0
即使存在部分曲线位于第四象限也不能说是有源的，如下图这种情况
这种情况积分仍＞0
电阻只要在二、四象限有值就是有源元件，但是电容不是这样
\qquad
对于线性时变电容元件，其特性为
q
(
t
)
=
C
(
t
)
u
(
t
)
q(t)=C(t)u(t)
q(t)=C(t)u(t)，在时刻
t
0
t_0
t0时变电容的储能为：
W
(
t
0
)
=
1
2
C
(
t
0
)
u
2
(
t
0
)
\mathrm{W}(t_{\scriptscriptstyle0})\mathrm{=}{\frac{1}{2}}\mathrm{C}(t_{\scriptscriptstyle0})\mathrm{u}^{\scriptscriptstyle2}(t_{\scriptscriptstyle0})
W(t0)=21C(t0)u2(t0)
线性时变电容的电流为：
i
=
d
q
(
t
)
d
t
=
C
′
(
t
)
u
(
t
)
+
C
(
t
)
u
′
(
t
)
i=\frac{d q(t)}{d t}=C'(t){u}(t)+{C}(t)u'(t)
i=dtdq(t)=C′(t)u(t)+C(t)u′(t)
在
[
t
0
,
t
]
[t_0,t]
[t0,t]时间区间，电路供给电容的能量为：
W
(
t
0
,
t
)
=
∫
t
0
t
u
(
τ
)
i
(
τ
)
d
τ
=
∫
t
0
t
u
(
τ
)
C
(
τ
)
u
′
(
τ
)
d
τ
+
∫
t
0
t
u
(
τ
)
C
′
(
τ
)
u
(
τ
)
d
τ
∵
u
′
(
τ
)
=
d
u
(
τ
)
d
τ
,
替换后变上下限
∴
∫
t
0
t
u
(
τ
)
C
(
τ
)
u
′
(
τ
)
d
τ
=
∫
u
(
t
0
)
u
(
t
)
C
(
τ
)
u
(
τ
)
d
u
(
τ
)
=
1
2
C
(
τ
)
u
(
τ
)
2
∣
u
(
t
0
)
u
(
t
)
=
1
2
C
(
t
)
u
2
(
t
)
−
1
2
C
(
t
0
)
u
2
(
t
0
)
+
∫
t
0
t
C
′
(
τ
)
u
2
(
τ
)
d
τ
\begin{aligned}\mathrm{W}\left(t_{0},t\right)&=\int_{t_{0}}^{t}u(\tau)i(\tau)d\tau=\int_{t_{0}}^{t}u(\tau)C(\tau)u'(\tau)d\tau+\int_{t_{0}}^{t}\!u(\tau){C'}(\tau)u(\tau)d\tau\\& ∵u'(\tau)=\frac{du(\tau)}{d\tau},替换后变上下限\\& ∴\int_{t_{0}}^{t}u(\tau)C(\tau)u'(\tau)d\tau=\int_{u(t_0)}^{u(t)}C(\tau)u(\tau)du(\tau)=\frac12C(\tau)u(\tau)^2|_{u(t_0)}^{u_(t)}\\& =\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{C}(t)u^{2}\left(t\right)-\frac{1}{2}\mathrm{C}(t_{0})u^{2}\left(t_{0}\right)+\int_{t_{0}}^{t}{C'}(\tau)u^{2}(\tau)d\tau \end{aligned}
W(t0,t)=∫t0tu(τ)i(τ)dτ=∫t0tu(τ)C(τ)u′(τ)dτ+∫t0tu(τ)C′(τ)u(τ)dτ∵u′(τ)=dτdu(τ),替换后变上下限∴∫t0tu(τ)C(τ)u′(τ)dτ=∫u(t0)u(t)C(τ)u(τ)du(τ)=21C(τ)u(τ)2∣u(t0)u(t)=21C(t)u2(t)−21C(t0)u2(t0)+∫t0tC′(τ)u2(τ)dτ
故有：
W
(
t
)
=
W
(
t
0
)
+
W
(
t
0
,
t
)
=
1
2
C
(
t
)
u
2
(
t
)
+
∫
t
0
t
C
′
(
τ
)
u
2
(
τ
)
d
τ
\mathrm{W}(t) =\mathrm{W}(t_{0}) +\mathrm{W}(t_{0},t)=\frac{1}{2}\mathrm{C}(t)u^{2}(t)+\int_{t_{0}}^{t}{C'}(\tau)u^{2}(\tau)d\tau
W(t)=W(t0)+W(t0,t)=21C(t)u2(t)+∫t0tC′(τ)u2(τ)dτ
因此要使这是无源的，必须满足
C
(
t
)
≥
0
且
C
’
(
t
)
≥
0
C(t)≥0且C’(t)≥0
C(t)≥0且C’(t)≥0。
若是线性时不变电容，则
C
’
=
0
C’=0
C’=0因此只要是个正值电容就是无源的。
电感元件的无源性和有源性
电感元件可以参考电容元件。即只要 f ( ψ , i ) f(\psi,i) f(ψ,i)曲线仅存在于第一象限，该电感元件必定为无源元件。若部分位于第四象限，不能说明一定是有源性。
对于线性时变电感元件，其特性为
ψ
(
t
)
=
L
(
t
)
i
(
t
)
\psi(t)=L(t)i(t)
ψ(t)=L(t)i(t)，在时刻
t
0
t_0
t0时变电容的储能为：
W
(
t
0
)
=
1
2
L
(
t
0
)
i
2
(
t
0
)
W(t_0)=\frac{1}{2}L(t_0)i^2(t_0)
W(t0)=21L(t0)i2(t0)
线性是变电感的电流为：
u
=
d
ψ
(
t
)
d
t
=
L
(
t
)
i
′
(
t
)
+
L
′
(
t
)
i
(
t
)
\begin{aligned} u=\frac{d\psi(t)}{dt}=L(t)i'(t)+L'(t)i(t) \end{aligned}
u=dtdψ(t)=L(t)i′(t)+L′(t)i(t)
在
[
t
0
,
t
]
[t_0,t]
[t0,t]时间区间，电路供给电感的能量为：
W
(
t
0
,
t
)
=
∫
t
0
t
u
(
τ
)
i
(
τ
)
d
τ
=
∫
t
0
t
L
(
τ
)
i
(
τ
)
i
′
(
τ
)
d
τ
+
∫
t
0
t
L
′
(
τ
)
i
2
(
τ
)
d
τ
=
1
2
L
(
t
)
i
2
(
t
)
−
1
2
L
(
t
0
)
i
2
(
t
0
)
+
∫
t
0
t
L
′
(
τ
)
i
2
(
τ
)
d
τ
\begin{aligned}\mathrm{W}\left(t_{0},t\right)&=\int_{t_{0}}^{t}u(\tau)i(\tau)d\tau=\int_{t_{0}}^{t}L(\tau)i(\tau)i'(\tau)d\tau+\int_{t_{0}}^{t}{L'}(\tau)i^2(\tau)d\tau\\& =\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{L}(t)i^{2}\left(t\right)-\frac{1}{2}\mathrm{L}(t_{0})i^{2}\left(t_{0}\right)+\int_{t_{0}}^{t}{L'}(\tau)i^{2}(\tau)d\tau \end{aligned}
W(t0,t)=∫t0tu(τ)i(τ)dτ=∫t0tL(τ)i(τ)i′(τ)dτ+∫t0tL′(τ)i2(τ)dτ=21L(t)i2(t)−21L(t0)i2(t0)+∫t0tL′(τ)i2(τ)dτ
故有：
W
(
t
)
=
W
(
t
0
)
+
W
(
t
0
,
t
)
=
1
2
L
(
t
)
i
2
(
t
)
+
∫
t
0
t
L
′
(
τ
)
i
2
(
τ
)
d
τ
\mathrm{W}(t) =\mathrm{W}(t_{0}) +\mathrm{W}(t_{0},t)=\frac{1}{2}\mathrm{L}(t)i^{2}(t)+\int_{t_{0}}^{t}{L'}(\tau)i^{2}(\tau)d\tau
W(t)=W(t0)+W(t0,t)=21L(t)i2(t)+∫t0tL′(τ)i2(τ)dτ
因此要使这是无源的，必须满足
L
(
t
)
≥
0
且
L
’
(
t
)
≥
0
L(t)≥0且L’(t)≥0
L(t)≥0且L’(t)≥0。
若是线性时不变电感，则
L
’
=
0
L’=0
L’=0因此只要是个正值电感就是无源的。
网络的有源性与无源性
网络的无源性和有源性可根据网络元件或网络的端口来确定，并且主要取决于元件的无源性和有源性。设n端口网络的电压、电流向量表示为：
u
(
t
)
=
[
u
1
(
t
)
,
u
2
(
t
)
,
⋅
⋅
⋅
,
u
n
(
t
)
]
T
,
i
(
t
)
=
[
i
1
(
t
)
,
i
2
(
t
)
,
⋅
⋅
⋅
,
i
n
(
t
)
]
T
u(t)=[u_1(t),u_2(t),···,u_n(t)]^T,i(t)=[i_1(t),i_2(t),···,i_n(t)]^T
u(t)=[u1(t),u2(t),⋅⋅⋅,un(t)]T,i(t)=[i1(t),i2(t),⋅⋅⋅,in(t)]T
端口型无源网络和有源网络的定义：若n端口网络在to时刻储存的能量为
W
(
t
0
)
W(t_0)
W(t0),在
t
＞
t
0
t＞t_0
t＞t0时恒有：
W
(
t
)
=
∫
−
∞
t
u
T
(
τ
)
i
(
τ
)
d
τ
=
W
(
t
0
)
+
∫
0
t
u
T
(
τ
)
i
(
τ
)
d
τ
≥
0
W(t)=\int_{-\infty}^{t}u^{T}(\tau)i(\tau)\operatorname{d}\tau=W(t_{0})+\int_{0}^{t}u^{T}(\tau)i(\tau)\operatorname{d}\tau\geq0
W(t)=∫−∞tuT(τ)i(τ)dτ=W(t0)+∫0tuT(τ)i(τ)dτ≥0
则称该网络为n端口无源网络，否则，称该网络为n端口有源网络。
有损性和无损性
如果一个元件从外部电路吸收的能量,最终又全都送给外电路,则元件是无损的。
其定义为：若对任意初始时刻
t
0
t_0
t0，满足：
W
(
t
)
=
W
(
t
0
)
+
∫
t
0
∞
u
(
τ
)
i
(
τ
)
d
τ
=
0
\mathrm{W}\left(t\right)=\mathrm{W}(\,t_{0})+\int_{t_{0}}^{\infty}u(\tau)i(\tau)d\tau=0
W(t)=W(t0)+∫t0∞u(τ)i(τ)dτ=0
则称该元件是无损的，否则称为有损的。
二端线性电容、二端线性电感、回转器、理想变压器都是无损的。
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