Mr. Young's Picture Permutations （POJ - 2279 ，线型DP）

最新推荐文章于 2024-08-04 17:51:30 发布

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本文详细解析了一道关于学生拍照排列的问题，通过动态规划的方法，探讨了如何在满足特定条件下计算不同排列方式的数量。适用于算法学习和竞赛准备。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一.题目链接：

POJ-2279

二.题目大意：

n 个学生拍照，排成 k 排，第 i 排有 n[i] 个人，第一排站在最后面.

学生编号为 1...n，身高依次递增.

排队满足，同一行从左到右身高递减，同一列从后往前身高递减.

问有多少种排列方式.

三.分析：

由于每行每列身高依次递减，所以我们可以按身高从高到矮一次考虑他们的位置.

在任意时刻，对于当前学生来说，他可以插入到第 i 行的末尾.

这样来，便满足了行的身高递减.

第 i 行满足：

① $a_{i} < n_{i}$

② $i == 1\; || \; a_{i} < a_{i -1}$

其中 $a_{i}$ 为第 i 行的当前人数.

只要该学生站在满足上述条件的行中，列的身高递减性便可以满足.

边界：f [0, 0, 0, 0, 0] = 1.

目标：f [ n[0], n[1], n[2], n[3], n[4] ].

详见代码.

四.代码实现：

#include <set>
#include <map>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <sstream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define eps 1e-6
#define lc k * 2
#define rc k * 2 + 1
#define pi acos(-1.0)
#define ll long long
#define ull unsigned long long
using namespace std;

const int M = (int)1e5;
const int mod = (int)1e9 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int n[5];
vector < vector < vector < vector < vector <ll> > > > > f;

void init()
{
    f.clear();
    f.resize(n[0] + 1);
    for(int i0 = 0; i0 <= n[0]; ++i0)
    {
        f[i0].clear();
        f[i0].resize(n[1] + 1);
        for(int i1 = 0; i1 <= n[1]; ++i1)
        {
            f[i0][i1].clear();
            f[i0][i1].resize(n[2] + 1);
            for(int i2 = 0; i2 <= n[2]; ++i2)
            {
                f[i0][i1][i2].clear();
                f[i0][i1][i2].resize(n[3] + 1);
                for(int i3 = 0; i3 <= n[3]; ++i3)
                {
                    f[i0][i1][i2][i3].clear();
                    f[i0][i1][i2][i3].resize(n[4] + 1);
                    for(int i4 = 0; i4 <= n[4] + 1; ++i4)
                    {
                        f[i0][i1][i2][i3].push_back(0);
                    }
                }
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int k;
    while(~scanf("%d", &k) && k)
    {
        memset(n, 0, sizeof(n));
        for(int i = 0; i < k; ++i)
            scanf("%d", &n[i]);
        init();
        f[0][0][0][0][0] = 1;
        for(int i0 = 0; i0 <= n[0]; ++i0)
        {
            for(int i1 = 0; i1 <= n[1]; ++i1)
            {
                for(int i2 = 0; i2 <= n[2]; ++i2)
                {
                    for(int i3 = 0; i3 <= n[3]; ++i3)
                    {
                        for(int i4 = 0; i4 <= n[4]; ++i4)
                        {
                            if(i0 < n[0])                    f[i0 + 1][i1][i2][i3][i4] += f[i0][i1][i2][i3][i4];
                            if(i1 < n[1] && i1 < i0)         f[i0][i1 + 1][i2][i3][i4] += f[i0][i1][i2][i3][i4];
                            if(i2 < n[2] && i2 < i1)         f[i0][i1][i2 + 1][i3][i4] += f[i0][i1][i2][i3][i4];
                            if(i3 < n[3] && i3 < i2)         f[i0][i1][i2][i3 + 1][i4] += f[i0][i1][i2][i3][i4];
                            if(i4 < n[4] && i4 < i3)         f[i0][i1][i2][i3][i4 + 1] += f[i0][i1][i2][i3][i4];
                        }
                    }
                }
            }
        }
        printf("%lld\n", f[n[0]][n[1]][n[2]][n[3]][n[4]]);
    }
    return 0;
}