动态规划——线性 DP Mr. Young's Picture Permutations

最新推荐文章于 2024-08-04 17:51:30 发布

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分类专栏：动态规划——线性DP

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/flymoyu/article/details/98660573

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本文探讨了一个有趣的问题：如何计算在给定的排数和每排人数下，使学生按身高从左到右和从前到后递减排列的方案数量。通过动态规划方法，我们详细解释了状态转移方程，并提供了完整的C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：

给定N个学生，k排，每排分别有N1,N2,N3……Nk
合影时要求每一排从左到右身高递减，每一列从后到前身高也递减，问一共有多少种安排合影位置的方案

方法一：动态规划
f[a1,a2,a3,a4,a5]表示每排从左起占了a1,a2,a3,a4,a5个人的方案数，f[0,0,0,0,0]=1。

转移方程为：当a1<N1，f[a1+1,a2,a3,a4,a5]+=f[a1,a2,a3,a4,a5]，其余同理。

在这里插入图片描述
方法二：杨氏定理+勾子定理
https://blog.youkuaiyun.com/flymoyu/article/details/98659780

代码：


#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
typedef long long ll;
using namespace std;

int row[10],n;
ll dp[32][32][32][32][32];

int main()
{
	while(~scanf("%d",&n)){
		if(!n) break;
		memset(row,0,sizeof row);
		rep(i,1,n) scanf("%d",&row[i]);
		rep(a1,0,row[1])
			rep(a2,0,row[2])
				rep(a3,0,row[3])
					rep(a4,0,row[4])
						rep(a5,0,row[5]) dp[a1][a2][a3][a4][a5] = 0;
		dp[0][0][0][0][0] = 1;
		rep(a1,0,row[1])
			rep(a2,0,row[2]){
				if(a1 != row[1] && a2 > a1) continue;
				rep(a3,0,row[3]){
					if(a2 != row[2] && a3 > a2) continue;
					rep(a4,0,row[4]){
						if(a3 != row[3] && a4 > a3) continue;
						rep(a5,0,row[5]){
							if(a4 != row[4] && a5 > a4) continue;
							if(a1 < row[1])
								dp[a1+1][a2][a3][a4][a5] += dp[a1][a2][a3][a4][a5];
							if(a2 < row[2] && ((a2 < a1) || (a1 == row[1])))
								dp[a1][a2+1][a3][a4][a5] += dp[a1][a2][a3][a4][a5];
							if(a3 < row[3] && ((a3 < a2) || (a2 == row[2])))
								dp[a1][a2][a3+1][a4][a5] += dp[a1][a2][a3][a4][a5];
							if(a4 < row[4] && ((a4 < a3) || (a3 == row[3])))
								dp[a1][a2][a3][a4+1][a5] += dp[a1][a2][a3][a4][a5];
							if(a5 < row[5] && ((a5 < a4) || (a4 == row[4])))
								dp[a1][a2][a3][a4][a5+1] += dp[a1][a2][a3][a4][a5];
						}
					}
				}
			}
		printf("%lld\n",dp[row[1]][row[2]][row[3]][row[4]][row[5]]);
	}
	return 0;
}