LCIS（算法竞赛进阶指南 P241，最长公共上升子序列）

一.题目链接：

LCIS

二.题目大意：

给两个长度为 n 的序列 A,B.

求 A, B 的最长公共上升子序列长度.

三.分析：

令 dp[i, j] 表示 A[1 ~ i] 与 B[1 ~ j] 可以构成以 B[j] 结尾的 LICS 的长度.

当 A[i] != B[j] 时，dp[i, j] = dp[i - 1, j].

当 A[i] == B[j] 时，想要计算 dp[i, j] 只需要遍历 k (0 ≤ k ＜ j)

若 B[k] < A[i]，说明 A[i] 可以接在 dp[i - 1, k] 后面转移为 dp[i, j].

当然，这里要取 dp[i - 1, k] 的最大值.

这样时间复杂度为 O(n^3)，下面对其进行优化.

对于当前的 i 和 j 来说，若满足 B[j] < A[i]，则下一个 j 时，所循环的 k 只增加了 1.

即 dp[i - 1, k] 的解集个数只增加了 1.

因此，我们不妨记录一个 val，代表当前满足 B[k] < A[i] 的 dp[i - 1, k] 的最大值.

注意到，dp[i, j] 只与 dp[i - 1, k] 有关，因此这里可以用滚动数组将空间复杂度优化到 O(n)

#include <set>
#include <map>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <sstream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define eps 1e-6
#define lc k * 2
#define rc k * 2 + 1
#define pi acos(-1.0)
#define ll long long
#define ull unsigned long long
using namespace std;

const int M = (int)3e3;
const int mod = (int)1e9 + 7;
const ll inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

int n;
int a[M + 5];
int b[M + 5];
int dp[2][M + 5];

int work()
{
    int val, ans = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        val = 0;
        for(int j = 1; j <= n; ++j)
        {
            if(b[j] == a[i])
                dp[i&1][j] = val + 1;
            else
                dp[i&1][j] = dp[!(i&1)][j];
            if(b[j] < a[i])
                val = max(val, dp[!(i&1)][j]);
            ans = max(ans, dp[i&1][j]);
        }
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d", &a[i]);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d", &b[i]);
    printf("%d\n", work());
    return 0;
}