多元统计分析笔记二——多元分布

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#统计学

一、Wishart分布

1.1 基本概念

Wishart分布是 $χ2\chi^2$ 分布的多元情况，假设有随机变量 $ξ∼N(0,Σ)∈Rp\xi\sim N(0,\Sigma)\in\bm R^{p}$ ，有 $i i d$ 样本 $,XnX_1,\cdots,X_n$ ，定义 $,Xn)T∈Rn×p\bm X=(X_1,\cdots,X_n)^T\in\bm R^{n\times p}$ ，那么 $M=XTX=∑i=1nXiXiT∼Wp(Σ,n)(1)M=\bm X^T\bm X=\sum\limits_{i=1}^nX_iX_i^T\sim W_p(\Sigma, n)\tag1$
$n$ 为自由度。

1.2 性质

如果 $M∼Wp(Σ,n)M\sim W_p(\Sigma, n)$ ，而且 $B∈Rp×qB\in\bm R^{p\times q}$ ，那么 $BTMB∼Wq(BTΣB,n)(2)B^TMB\sim W_q(B^T\Sigma B, n)\tag2$
当 $B=Σ−12B=\Sigma^{-\frac{1}{2}}$ 时， $Σ−12MΣ−12∼Wp(Ip,n)\Sigma^{-\frac{1}{2}}M\Sigma^{-\frac{1}{2}}\sim W_p(I_p, n)$
如果 $M∼Wp(Σ,n)M\sim W_p(\Sigma, n)$ ，那么 $E(M)=nΣE(M)=n\Sigma$
如果 $,kM_i\sim W_p(\Sigma, n_i),\quad i=1,\cdots,k$ ，且相互独立，那么 $M=∑i=1kMi∼Wp(Σ,n)(3)M=\sum_{i=1}^kM_i\sim W_p(\Sigma, n)\tag3$
其中 $n=∑i=1knin=\sum\limits_{i=1}^kn_i$
如果 $X∈Rn×p\bm X\in\bm R^{n\times p}$ ，且 $Xi∼N(0,Σ)X_i\sim N(0,\Sigma)$ ，对于对称矩阵 $C$ ，当且仅当 $C^2=C$ 时， $XTCX∼W(Σ,r)(4)\bm X^TC\bm X\sim W(\Sigma, r)\tag4$