一、Wishart分布
1.1 基本概念
Wishart分布是 χ 2 \chi^2 χ2分布的多元情况，假设有随机变量 ξ ∼ N ( 0 , Σ ) ∈ R p \xi\sim N(0,\Sigma)\in\bm R^{p} ξ∼N(0,Σ)∈Rp，有 i i d iid iid样本 X 1 , ⋯ , X n X_1,\cdots,X_n X1,⋯,Xn，定义 X = ( X 1 , ⋯ , X n ) T ∈ R n × p \bm X=(X_1,\cdots,X_n)^T\in\bm R^{n\times p} X=(X1,⋯,Xn)T∈Rn×p，那么 M = X T X = ∑ i = 1 n X i X i T ∼ W p ( Σ , n ) (1) M=\bm X^T\bm X=\sum\limits_{i=1}^nX_iX_i^T\sim W_p(\Sigma, n)\tag1 M=XTX=i=1∑nXiXiT∼Wp(Σ,n)(1)
n n n为自由度。
1.2 性质
-
如果 M ∼ W p ( Σ , n ) M\sim W_p(\Sigma, n) M∼Wp(Σ,n)，而且 B ∈ R p × q B\in\bm R^{p\times q} B∈Rp×q，那么 B T M B ∼ W q ( B T Σ B , n ) (2) B^TMB\sim W_q(B^T\Sigma B, n)\tag2 BTMB∼Wq(BTΣB,n)(2)
当 B = Σ − 1 2 B=\Sigma^{-\frac{1}{2}} B=Σ−21时， Σ − 1 2 M Σ − 1 2 ∼ W p ( I p , n ) \Sigma^{-\frac{1}{2}}M\Sigma^{-\frac{1}{2}}\sim W_p(I_p, n) Σ−21MΣ−21∼Wp(Ip,n)
-
如果 M ∼ W p ( Σ , n ) M\sim W_p(\Sigma, n) M∼Wp(Σ,n)，那么 E ( M ) = n Σ E(M)=n\Sigma E(M)=nΣ
-
如果 M i ∼ W p ( Σ , n i ) , i = 1 , ⋯ , k M_i\sim W_p(\Sigma, n_i),\quad i=1,\cdots,k Mi∼Wp(Σ,ni),i=1,⋯,k，且相互独立，那么 M = ∑ i = 1 k M i ∼ W p ( Σ , n ) (3) M=\sum_{i=1}^kM_i\sim W_p(\Sigma, n)\tag3 M=i=1∑kMi∼Wp(Σ,n)(3)
其中 n = ∑ i = 1 k n i n=\sum\limits_{i=1}^kn_i n=i=1∑kni -
如果 X ∈ R n × p \bm X\in\bm R^{n\times p} X∈Rn×p，且 X i ∼ N ( 0 , Σ ) X_i\sim N(0,\Sigma) Xi∼N(0,Σ)，对于对称矩阵 C C C，当且仅当 C 2 = C C^2=C C2=C时， X T C X ∼ W ( Σ , r ) (4) \bm X^TC\bm X\sim W(\Sigma, r)\tag4 XTCX∼
最低0.47元/天 解锁文章
扫一扫
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
