多元统计分析笔记一——矩阵基础知识

一、矩阵特性

 

$(1)$ 对于矩阵$A$，它的秩$rank(A)$为矩阵$A$线性无关的行或列的数目
 

$(2)$ 对于方阵$A$，它的迹运算为$tr(A)=\sum _{i=1}^p{a}_{ii}$
 

$(3)$ 如果矩阵$A$的行列式$\det (A)=|A|\ne 0$，那么存在$A^{-1}$，使得$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$，其中$I$为单位矩阵（identity matrix）
 

二、特征值和特征向量

 

$(4)$ $A$是$p\times p$的矩阵，如果存在标量$\lambda$和非零向量$\mathbf{x}$，满足$A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$，那么称$\lambda$是特征值，非零向量$\mathbf{x}$为对应的特征向量
 

$(5)$ 可以通过解$|A-\lambda I_p|=0$来求特征值
 

$(6)$ $\det (A)=\prod _{i=1}^p{\lambda }_i$，$tr(A)=\sum _{i=1}^p{\lambda }_i$
 

三、一些特殊矩阵

 

$(7)$ 设$A\in {\mathbf{R}}^{p\times p}$，如果 A T A = A A T = I A^TA=AA^T=I ATA=AA