概率论复习笔记四——期望、方差、协方差与相关系数

一、几个不等式

1.1 切比雪夫不等式

对于任何具有有限方差的随机变量$\xi$，都有P{ ∣ξ−Eξ∣≥ε}≤Dξε2(1)P\{|\xi-E\xi|\ge \varepsilon\}\le\frac{D\xi}{\varepsilon^2}\tag1P{ ∣ξ−Eξ∣≥ε}≤ε2Dξ​(1)
其中$\epsilon$是任一正数。

证明：
$D\xi ={\int }_{-\infty }^{\infty }(x-E\xi {)}^{2}dF(x)\ge {\int }_{|x-E\xi \ge \epsilon |}(x-E\xi {)}^{2}dF(x)\ge {\int }_{|x-E\xi \ge \epsilon |}{\epsilon }^{2}dF(x)$。

根据上述不等式，我们可以得到P{ ∣ξ−EξDξ∣≥δ}≤1δ2(2)P\{|\frac{\xi-E\xi}{\sqrt{D\xi}}|\ge\delta\}\le\frac{1}{\delta^2}\tag2P{ ∣Dξ ​ξ−Eξ​∣≥δ}≤δ21​(2)

切比雪夫不等式利用随机变量$\xi$的数学期望$E\xi$和方差$D\xi =$