【概率论】期中复习笔记（中）：随机向量及其概率分布、随机变量的数字特征

第三章 随机向量及其概率分布

1. 二维随机向量及其概率分布

$n$维随机变量/$n$维随机向量：设$X_1,X_2,\cdots ,X_n$是定义在样本空间$\Omega$上的$n$个随机变量，则$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$称为$n$维随机变量或$n$维随机向量

二维随机变量的分布函数：设$(X,Y)$是二维随机向量，对于任意$x,y\in \mathbb{R}$，二元函数 F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\} F(x,y)=P{ X≤x,Y≤y}称为二维随机变量$(X,Y)$的分布函数，或$X$与$Y$的联合分布函数。$F(x,y)$是事件 { X ≤ x } \{X\le x\} { X≤x}与 { Y ≤ y } \{Y\le y\} { Y≤y}同时发生的概率

P { x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) P\{x_1<X\le x_2,y_1<Y\le y_2\}=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1) P{ x1​<X≤x2​,y1​<Y≤y2​}=F(x2​,y2​)−F(x2​,y1​)−F(x1​,y2​)+F(x1​,y1​)

分布函数$F(x,y)$的性质：
(1) $F(x,y)$对每个变量是单调增函数
(2) $F(x,y)$对每个变量是右连续的，即$F(x+0,y)=F(x,y)$，$F(x,y+0)=F(x,y)$
(3) $F(-\infty ,y)=F(x,-\infty )=F(-\infty ,-\infty )=0$，$F(+\infty ,+\infty )=1$
(4) $\forall (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in {\mathbb{R}}^2$，若$x_1\le x_2,y_1\le y_2$，则$F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)\ge 0$

边缘分布函数：单个变量的分布函数
分量$X$的分布函数 F X ( x ) = P { X ≤ x } = lim ⁡ y → + ∞ P { X ≤ x , Y ≤ y } = lim ⁡ y → + ∞ F ( x , y ) = F ( x , + ∞ ) F_X(x)=P\{X\le x\}=\lim\limits_{y\to+\infty}P\{X\le x,Y\le y\}=\lim\limits_{y\to+\infty}F(x,y)=F(x,+\infty) FX​(x)=P{ X≤x}=y→+∞lim​P{ X≤x,Y≤y}=y→+∞lim​F(x,y)=F(x,+∞)，即$F_X(x)=F(x,+\infty )$，称为二维随机变量$(X,Y)$关于$Y$的边缘分布函数
分量$Y$的分布函数$F_Y(y)=F(+\infty ,y)$

$F_X(x),F_Y(y)$由分布函数$F(x,y)$唯一确定，但反过来不一定成立（只有在独立的时候才成立）

二维离散型随机向量$(X,Y)$的分布律： P { X = x i , Y = y i } = p i j ( i , j = 1 , 2 , ⋯   ) P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij}(i,j=1,2,\cdots) P{ X=xi​,Y=yi​}=pij​(i,j=1,2,⋯)，满足性质：(1) $p_{ij}\ge 0$，(2) $\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{p}_{ij}=1$
边缘分布律： p i ⋅ = P { X = x i } = ∑ j = 1 ∞ p i j ( i = 1 , 2 , ⋯   ) p_{i\cdot}=P\{X=x_i\}=\sum\limits_{j=1}^\infty p_{ij}(i=1,2,\cdots) pi⋅​=P{ X=xi​}=j=1∑∞​pij​(i=1,2,⋯)， p ⋅ j = P { Y = y j } = ∑ i = 1 ∞ ( j = 1 , 2 , ⋯   ) p_{\cdot j}=P\{Y=y_j\}=\sum\limits_{i=1}^\infty(j=1,2,\cdots) p⋅j​=P{ Y=yj​}=i=1∑∞​(j=1,2,⋯)

二维连续性随机向量$(X,Y)$及其分布律：存在非负可积函数$f(x,y)(x\in \mathbb{R},y\in \mathbb{R})$，使得$\forall$区域$A\subset {\mathbb{R}}^2$，都有$P\{(X,Y)\in A\}=\underset{A}{\iint }f(x,y)\text{d}x\text{d}y$，则称$(X,Y)$为二维连续型随机向量，称$f(x,y)$为$(X,Y)$的概率密度
概率密度的性质：(1) $\forall x,y\in \mathbb{R},f(x,y)\ge 0$；(2) ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\text{d}x\text{d}y=1$；(3) 若$f(x,y)$在点$(x,y)$的某邻域内连续，则$\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)$

二维连续性随机向量$(X,Y)$的分布函数为$F(x,y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(u,v)\text{d}u\text{d}v$
此时，$X,Y$分别为一维连续型随机变量，关于它们的边缘概率密度分别为$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\text{d}y$，$f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\text{d}x$

常见的几种二维连续型随机变量及其分布律：
(1) 二维正态分布$N({\mu }_1,{\mu }_2;{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2;\rho )$：若二维随机向量$(X,Y)$的概率密度为$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}{e}^{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{(x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}\right]},x,y\in \mathbb{R}$$其中${\sigma }_1>0,{\sigma }_2>0,-1<\rho <1$，则$(X,Y)\text{~}N({\mu }_1,{\mu }_2;{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2;\rho )$
且$X\text{~}N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$Y\text{~}N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，与$\rho$无关

(2) 二维均匀分布：若二维随机向量$(X,Y)$的概率密度为$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{A},& (x,y)\in G\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$则称$(X,Y)$在$G$上服从二维均匀分布，其中$A(A>0)$为有界区域$G$的面积

2. 条件分布

二维离散型随机向量

设二维离散型随机向量$(X,Y)$的分布律为 p i j = P { X = x i , Y = y j } ( i , j = 1 , 2 , ⋯   ) p_{ij}=P\{X=x_i,Y=y_j\}(i,j=1,2,\cdots) pij​=P{ X=xi​,Y=yj​