概率论复习笔记五——大数定律和中心极限定理

一、 背景

随着试验大量重复的进行，一个随机事件出现的频率在某个固定的数的附近摆动，这就是所谓的“频率稳定性”。数学上用中心极限定理和大数定律来描述在一定条件下的大量重复实验。

二、定义

2.1 大数定律定义

若${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n,\cdots$是随机变量序列，令$${\eta }_n=\frac{{\xi }_1+{\xi }_2+\cdots +{\xi }_n}{n}\text{\hspace{1em}(1)}$$
如果存在这样的一个常数序列$a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots$，对任意的$\epsilon >0$，恒有lim⁡n→∞P{ ∣ηn−an∣<ε}=1(2)\lim_{n\to\infty}P\{|\eta_n-a_n|\lt\varepsilon\}=1\tag2n→∞lim​P{ ∣ηn​−an​∣<ε}=1(2)
则称序列{ ξn}\{\xi_n\}{ ξn​}服从大数定律。

2.2 中心极限定理定义

中心极限定理是说： 样本的平均值约等于总体的平均值。
不管总体是什么分布，任意一个总体的样本平均值都会围绕在总体的整体平均值周围，并且呈正态分布。
这里的整体平均值是指数学期望

假设有独立随机变量序列${\xi }_1$