高数复习

极限

等价无穷小

（1）指数函数：$a^x-1\sim$ $xlna$
（2）幂函数：$(1+Bx{)}^a-1\sim$ $aBx$
（3）对数函数：$lo{g}_a(1+x)\sim$ $\frac{x}{lna}$
（4）其他：
$$\frac{ax-(1+ax)ln(1+ax)}{(ax{)}^2(1+ax)}\sim -\frac{1}{2}$$
$$1-\frac{sinx}{x}\sim \frac{1}{6}{x}^2$$

等价无穷大

（1）$$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^{x^2}=\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{-\frac{1}{2}}{e}^x$$
这里一开始推出矛盾
$$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^{x^2}=\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{x^{2}ln(1+\frac{1}{x})}=e^{x^2\cdot \frac{1}{x}}=e^x$$
这个的原因应该是展开精度不够，上面的$ln(1+\frac{1}{x})\sim \frac{1}{x}$相当于展开到第一项，精度不够，如果多写几项就能发现
$$\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{x^{2}ln(1+\frac{1}{x})}=e^{x^2(\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+O(\frac{1}{x^2}))}=e^x\cdot e^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{O(\frac{1}{x^2}))}=e^x\cdot e^{-\frac{1}{2}}\cdot 1$$
这样就对了
（2）斯特林近似
$$\underset{n\to \infty }{\lim }n!=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e}{)}^n$$
一般看到阶乘的求极限贼好用
顺便记一下阶乘的积分公式
$$n!={\int }_0^{+\infty }{x}^n{e}^{-x}dx$$

常用泰勒展开

①：$tanx$

$$tanx=x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5+\frac{17}{315}{x}^7+...$$

②：$arctanx$

$$arctanx=x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^5-....$$

③：$arcsinx$

$$arcsinx=x+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{3}{40}{x}^5+...$$

④：$(1+x{)}^a$

$$(1+x{)}^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}{x}^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}{x}^3+...$$

⑤：$(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$

$$(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e(1-\frac{1}{2}x+\frac{11}{24}{x}^2-\frac{7}{16}{x}^3+...)$$

斯托克斯公式

$$\oint F\cdot dr=\iint ▽\times FdS$$

$$\oint (F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz)=\iint \left|\begin{array}{ccc}dydz& dxdz& dxdy\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ F_x& F_y& F_z\end{array}\right|dS$$

$$\oint (F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz)=\iint (\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z})dydz-(\frac{\partial F_z}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial z})dxdz+(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})dxdy$$

曲率

$$k=\frac{d\theta }{ds}$$
$$而k=y^{\prime }=tan\theta \Rightarrow \theta =arctan{y}^{\prime }\Rightarrow d\theta =\frac{d{y}^{\prime }}{1+y^{\prime 2}}=\frac{y^{\prime \prime }dx}{1+y^{\prime 2}}=\frac{y^{\prime \prime }}{1+y^{\prime 2}}dx$$
$$而ds=\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$$
$$\therefore k=\frac{y^{\prime \prime }}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}$$

曲率中心

$$\{\begin{array}{c}{x}_o=x-\frac{y^{\prime }(1+y^{\prime 2})}{y^{\prime \prime }}\\ \\ y_o=y+\frac{1+y^{\prime 2}}{y^{\prime \prime }}\end{array}$$

经典积分背下来

常用不常规积分
$$\int \frac{1}{sinx}dx=ln(tan\frac{x}{2})+C这个用万能公式比较好计算$$
$$\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=ln(x+\sqrt{1+x^2})+C$$

需要背的

$$tan(\frac{\pi }{8})=\sqrt{2}-1$$
$$tan(\frac{3\pi }{8})=\sqrt{2}+1$$

不等式总结

均值不等式

$$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$$
以前就只知道右边这个 $\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$,那左边这个$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le \sqrt{ab}$是怎么来的喃？
把$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$取倒数
$\frac{1}{\frac{a+b}{2}}\le \frac{1}{\sqrt{ab}}$
$\frac{2}{a+b}\le \sqrt{\frac{1}{a}\frac{1}{b}}$
因为$a,b$都是正数，所以把$\frac{1}{a}$看成新的$a$，把$\frac{1}{b}$看成新的$b$，于是就得到了$$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le \sqrt{ab}$$

Young不等式

$$xy\le \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q},其中\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,x,y,p,q>0$$
这是看张宇18讲看到的，以前见都没见过T_T

需要用到凹凸不等式来弄：

凹凸不等式

$$f(\lambda x_1+(1-\lambda )y_1)\ge \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(y_1),凸函数情况$$
然后$ln(x)$是凸函数
所以有$ln(\lambda x_1+(1-\lambda )y_1)\ge \lambda ln(x_1)+(1-\lambda )ln(y_1)$
然后再把$x_1换成x^p,y_1换成y^q,\lambda 换成\frac{1}{p},1-\lambda 换成1-\frac{1}{q}$
$ln(\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q})\ge \frac{1}{p}ln(x^p)+\frac{1}{q}ln(y^q)=ln(xy)$得证

向量不等式（离散柯西不等式）

连续情况就是柯西施瓦茨不等式
$$(a_1{a}_2+b_1{b}_2{)}^2\le (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)$$
$$(a_1{a}_2+b_1{b}_2+a_3{b}_3{)}^2\le (a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)$$

哇~这个不等式原来是由向量推过来的啊T_T
在二维平面中，设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$

$cos\theta =\frac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|\cdot \overrightarrow{OB}}\le 1$

$\frac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|\cdot \overrightarrow{OB}}=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\le 1$

然后再平方
$(x_1{x}_2+y_1{y}_2{)}^2\le (x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)$

扩展的那种就是在三维坐标下

$A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2)$

$\frac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|\cdot \overrightarrow{OB}}=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}\le 1$

$(x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2{)}^2\le (x_1^2+y_1^2+z_1^2)(x_2^2+y_2^2+z_2^2)$

函数不等式

①：
$$arctanx\le x\le arcsinx,(0\le x\le 1)$$
②：
$$\frac{1}{1+x}<ln(1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x},(x>0)$$
令$f(x)=ln(x),在[x,x+1]上用拉格朗日中值定理$
$ln(1+\frac{1}{x})=ln(1+x)-ln(x)=\frac{1}{\xi },\xi \in (x,x+1)$
$\therefore \frac{1}{1+x}<\frac{1}{\xi }<\frac{1}{x}$
③：
$$sinx<x<tanx,(0<x<\frac{\pi }{2})$$
④：
$$e^x\ge x-1$$
⑤：
$$ln(x)\le x-1,(x>0)$$

导数以及原函数的奇偶性

①：奇（偶）函数的导数是偶（奇）函数
②：偶函数的所有原函数只有一个是奇函数，就是只要那个常数C=0的
③：奇函数的所有原函数都是偶函数，因为那个常数C是多少不影响

求和与积分转换

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(a+\frac{(b-a)}{n}i)\cdot \frac{(b-a)}{n}$$
来个三重积分的：
$$\iiint f(x,y,z)dv=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}i,c+\frac{d-c}{n}j,e+\frac{f-e}{n}k)\frac{(b-a)}{n}\frac{(d-c)}{n}\frac{(f-e)}{n}$$

收集一些求和变积分的例子，以后看着要反应过来

①：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\frac{1}{n}={\int }_0^1\frac{1}{1+x}dx=ln2$$

微分中值定理需要构造的函数

常见辅助函数
⑤：
$$f^{\prime }(\xi )+g(\xi )f(\xi )=0$$
需要构造：$F(x)=f(x)e^{\int g(x)dx}$
同理，如果是
$$f^{\prime \prime }(\xi )+g(\xi )f^{\prime }(\xi )=0$$
需要构造：$F(x)=f^{\prime }(\xi )\cdot e^{\int g(x)dx}$
$$f^{\prime }(\xi )+g(\xi ){\int }_0^{\xi }f(t)dt=0$$
需要构造：$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt\cdot e^{\int g(x)dx}$
⑥：
$$f^{\prime }(\xi )+f^{\prime \prime }(\xi )tan\xi =0$$
这个高阶导数反而不是单项，这样不好做，所以同时除上一个$ta{n}^2\xi$把高阶导数变成单项
$f^{\prime \prime }(\xi )+f^{\prime }(\xi )\frac{1}{tan\xi }=0$
就阔以构造：
$F(x)=f^{\prime }(x)e^{\int \frac{1}{tanx}dx}=f^{\prime }(x)sinx$

积分中值定理

注意：积分中值定理弄的$\xi$的范围是闭区间，有些证明题是开区间，用这个就错了~

积分第一中值定理

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx$$
其中$g(x)$不变号
如果$g(x)=1$
${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}dx=f(\xi )(b-a)$
再把$f(x)$换成$f^{\prime }(x)$就成了 拉格朗日微分中值定理了

积分第二中值定理

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=g(a){\int }_a^{\xi }f(x)dx+g(b){\int }_{\xi }^{b}f(x)dx$$
没怎么遇到过T_T

积分不等式

常见积分不等式

曲面积分

有点忘了曲面积分了。。。特别是第一类和第二类曲面积分相互转化的时候是咋个来的
随便一个曲面：
$$F(x,y,z)=0$$
他的法向量：
$$\vec{n}=\left(F_x,F_y,F_z\right)$$
这个法向量与$X$轴的夹角就是$\alpha$
$z轴的向量{\overrightarrow{e}}_z=(0,0,1)$
其中$F_x$表示对$x$求偏导
$$\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{n}\cdot {\overrightarrow{e}}_z}{|\overrightarrow{n}|\cdot |{\overrightarrow{e}}_z|}=\frac{F_x}{\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}}$$
$$cos\beta =\frac{F_y}{\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}}$$
$$cos\gamma =\frac{F_z}{\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}}$$
分子分母同时除以$F_z$
$$\cos \alpha =\frac{\frac{F_x}{F_z}}{\sqrt{{\left(\frac{F_x}{F_z}\right)}^2+{\left(\frac{F_y}{F_x}\right)}^2+1}}$$

$$\cos \beta =\frac{\frac{F_y}{F_z}}{\sqrt{{\left(\frac{F_x}{F_z}\right)}^2+{\left(\frac{F_y}{F_x}\right)}^2+1}}$$
$$\cos \gamma =\frac{\frac{F_z}{F_z}}{\sqrt{{\left(\frac{F_x}{F_z}\right)}^2+{\left(\frac{F_y}{F_x}\right)}^2+1}}$$
其中$\frac{F_x}{F_z}=-Z_x^{\prime }$
为什么喃？
就是学隐函数求导的时候
$F(x,y,z)=0$两边同时对$x$求导
$F_x+F_z\cdot Z_x^{\prime }=0$
$\therefore Z_x^{\prime }=-\frac{F_x}{F_z}$
同理$\frac{F_y}{F_z}=-Z_y^{\prime }$
所以：
$$\cos \alpha =\frac{\frac{F_x}{F_z}}{\sqrt{{\left(\frac{F_x}{F_z}\right)}^2+{\left(\frac{F_y}{F_x}\right)}^2+1}}=\frac{-Z_x^{\prime }}{\sqrt{(-Z_x^{\prime }{)}^2+(-Z_y^{\prime }{)}^2+1}}=\frac{-Z_x^{\prime }}{\sqrt{{Z_x^{\prime }}^2+{Z_y^{\prime }}^2+1}}$$

$$\cos \beta =\frac{\frac{F_y}{F_z}}{\sqrt{{\left(\frac{F_x}{F_z}\right)}^2+{\left(\frac{F_y}{F_x}\right)}^2+1}}=\frac{-Z_y^{\prime }}{\sqrt{(-Z_x^{\prime }{)}^2+(-Z_y^{\prime }{)}^2+1}}=\frac{-Z_y^{\prime }}{\sqrt{{Z_x^{\prime }}^2+{Z_y^{\prime }}^2+1}}$$

$$\cos \gamma =\frac{\frac{F_z}{F_z}}{\sqrt{{\left(\frac{F_x}{F_z}\right)}^2+{\left(\frac{F_y}{F_x}\right)}^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{(-Z_x^{\prime }{)}^2+(-Z_y^{\prime }{)}^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{{Z_x^{\prime }}^2+{Z_y^{\prime }}^2+1}}$$
注意，上面的情况是投影在$xOy$面上，如果是其他面会出现问题，原因如下：
比如$x-y-z=0$写成$F(x,y,z)=0$那么$F(x,y,z)是多少喃？$
既阔以是$F(x,y,z)=x-y-z$
又可以是$F(x,y,z)=-x+y+z$没毛病吧
所以必须保证垂直于投影面的轴的变量在$F$中前面系数是正的才行
也就是说，如果要投影在$xOy$面，$F(x,y,z)=y-x+z$这种样子才行，$y$变量前面的系数要是正的

还有就是比如那种柱形,比如$y^2+z^2=1$，就是平行x轴的，往$yOz$面投影的时候，由于$F_x$算出来等于0，因此计算出来的$cos\alpha$就等于0了，还是有点问题

要不就按照学姐公式来吧
记一下：
①：往$xOy$投影，函数要写成$z=z(x,y)$
$$cos\theta =\frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}$$

①：往$xOz$投影，函数要写成$y=y(x,z)$
$$cos\theta =\frac{1}{\sqrt{1+y_x^2+y_z^2}}$$

①：往$yOz$投影，函数要写成$x=x(y,z)$
$$cos\theta =\frac{1}{\sqrt{1+x_y^2+x_z^2}}$$