机器人手眼标定（四轴六轴都适用）

最新推荐文章于 2024-10-12 22:00:00 发布

小贤有话说

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分类专栏：机器人标定文章标签：机器人标定

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博客围绕机器人手眼标定展开，介绍分为eye - in - hand和eye - to - hand两种情况，核心是求解AX = XD问题。阐述了计算矩阵X的方法，指出传统手眼标定算法不适用于桌面四轴机器人和部分六轴机器人，提出添加平移信息求解旋转矩阵R及平移向量t的方法。

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机器人手眼标定（四轴/六轴都适用）

问题解析

机器人手眼标定分为两种情况：eye-in-hand和eye-to-hand，即传感器是否安装在机器人手抓末端。不管是那种情况，手眼标定的科学问题都是求解AX=XD的问题，其中X为刚体变换矩阵，包含旋转和平移两个部分。通常关于该问题的求解方法分为两类：1）先求解旋转矩阵，再计算平移向量；2）同时求解旋转矩阵和平移向量。
$CX=XD\tag{1}$

如何计算X？

公式CX=XD中，矩阵C为相机坐标系经过一次运动之后的相对位姿，可以通过pnp算法计算出来，矩阵D为机器人手抓坐标系经过一次运动之后的相对位姿，可以通过机器人控制器读取（计算）出来。因此，我们知道矩阵C和D都是刚体变换矩阵，都包含旋转和平移两个部分。设R_c、t_c、R_d、t_d分别为矩阵C、D中包含的旋转矩阵和平移向量，将其带入上式化简得：
$\left\{\begin{matrix} R_{c}=RR_{d}R^{-1}\\ (R_{c}-I)t=Rt_{d}-t_{c} \end{matrix}\right.\tag{2}$
对于一般奇异矩阵T，可以对其进行特征值分解，得：
$T=U\cdot \begin{bmatrix} \lambda _{1} &0 &0 \\ 0&\lambda _{2} &0 \\ 0& 0 & \lambda _{3} \end{bmatrix}\cdot U^{-1}\tag{3}$
但是对于旋转矩阵R，由于其特殊性质，可以分解为以下形式：
$R=U\cdot \begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0&e^{-j\theta } &0 \\ 0& 0 & e^{j\theta } \end{bmatrix}\cdot U^{-1}\tag{4}$
对上式进行化简，得：
$k_{c}=R\cdot k_{d}\tag{5}$
式中： $k_{c}$ 为 $R_{c}$ 对应的旋转向量， $k_{d}$ 为 $R_{d}$ 对应的旋转向量。

特别地，当机器人运动中存在纯平移的运动时，由公式（2），存在 $R_{c}-I=0$ ，即：
$t_{c}=Rt_{d}\tag{6}$
可见，这种纯平移运动也会建立类似于公式（5）的约束。

传统的手眼标定算法仅仅利用公式（5）建立的约束来建立方程组：
$[k_{c_{1}},k_{c_{2}},...,k_{c_{N}}]=R\cdot [k_{d_{1}},k_{d_{2}},...,k_{d_{N}}]\tag{7}$
将该公式简记为
$M_{1}=R\cdot M_{2}\tag{8}$
传统的标定方法利用公式（7）求解旋转矩阵R的前提是约束矩阵 $M_{1}$ 可逆。

然而，桌面四轴机器人由于只具有x、y、z方向的移动和z方向的转动，因此决定了 $M_{1}$ 的秩为1，因此通过传统方法计算出来的旋转变换R不为正交矩阵，即无法正确求解R。因此，传统的手眼标定方法不适用于桌面机器人。并且，对于六轴机器人，传统方法要求机器人的运动必须保证旋转向量具有三维空间特征。

传统方法仅仅使用公式（5）由机器人旋转信息提供的约束来约束方程，忽略了平移运动提供的信息（该种运动只有在机器人做纯平移运动时才存在），因此，可以将平移信息添加到约束中来求解旋转矩阵R：
$[k_{c_{1}},...,k_{c_{N}},t_{c_{1}},...,t_{c_{M}}]=R\cdot [k_{d_{1}},...,k_{d_{N}},t_{d_{1}},...,t_{d_{M}}]\tag{9}$
注意：只有当机器人做纯平移运动时公式（6）才有效。

公式（7）简记为：
$M_{1}^{*}=R\cdot M_{2}^{*}\tag{10}$
对于平移向量t的求解，根据公式（2），带入R，并将每相邻两次运动得到的方程联立，得到如下方程组：
$\begin{bmatrix} R_{c_{12}}-I\\ R_{c_{23}}-I\\ ...\\ R_{c_{N-1N}}-I \end{bmatrix}\cdot t=\begin{bmatrix} Rt_{d_{12}}-t_{c_{12}}\\ Rt_{d_{23}}-t_{c_{23}}\\ ...\\ Rt_{d_{N-1N}}-t_{c_{N-1N}} \end{bmatrix}\tag{11}$
将公式（11）简记为：
$t=M_{3}^{-1}\cdot M_{4}\tag{12}$
传统手眼标定方法，使用公式（10）计算平移向量。