变量循环重新标号法求对称正定矩阵逆矩阵

一 算法原理

1. 对称矩阵特征值算法

   雅可比方法用于求解实对称矩阵的特征值和特征向量,对于实对称矩阵$A$,必有正交矩阵$U$,使得$U^{T}AU=D$.$D$是一个对角阵,主对角线的元素是矩阵$A$的特征值,正交矩阵$U$的每一列对应于属于矩阵$D$的主对角线对应元素的特征向量.
   雅可比方法用平面旋转对矩阵$A$做相似变换,化$A$为对角阵,从而求解出特征值和特征向量.旋转矩阵$U_p{}_q$,是一个单位阵在第$p$行,第$p$列,第$q$行,第$q$列,元素为$cos\phi$,第$p$行第$q$列为$-sin\phi$,第$q$行第$p$列为$sin\phi$.对于这样的平面旋转矩阵,不难验证其是一种正交矩阵.因此对于向量$x$,$U_p{}_{q}x$等同于把第$p$个坐标轴和第$q$个坐标轴共同所确定的平面旋转了$\phi$度.记矩阵$A_1=U_p{{}_q}^{T}A{U}_p{}_q$.因为旋转矩阵是正交阵,因此实际上矩阵$A_1$与矩阵$A$是相似的,因此其特征值是相同的.
   设矩阵$A_1$第$i$行,第$j$列的元素为$b_i{}_j$,矩阵$A$的第$i$行,第$j$列的元素为$a_i{}_j$($i=0,1,2,...,n-1,j=0,1,2,...,n-1$).式(1-1-1)给出了两矩阵元素之间的运算关系.
   $$\{\begin{array}{l}{b}_p{}_p=a_p{}_{p}co{s}^2\phi +a_q{}_{q}si{n}^2\phi +2a_p{}_{q}cos\phi sin\phi \\ b_q{}_q=a_p{}_{p}si{n}^2\phi +a_q{}_{q}co{s}^2\phi -2a_p{}_{q}cos\phi sin\phi \\ b_p{}_{}\end{array}$$