重叠相加法计算卷积

一 原理

​ 我们知道,对于一个线性时不变系统来说,当给定其离散的输入序列时,要想计算该序列通过该线性时不变系统所引起的零状态响应时,可以使用该序列与该系统的冲激响应序列相卷积进行求解,也即式(1-1-1).
$$y(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k)h(n-k)\text{\hspace{1em}(1-1-1)}$$
实际进行编程时,我们可能需要使用三重循环来进行计算,但是当输入的数据序列无限长,而线性时不变系统的冲激响应序列比较短时,该方法会有很大的计算量.尤其是进行实时滤波,我们不可能要把所需要使用的输入序列都收集完毕后再进行运算,而是希望能够一边输入序列,一边进行计算.重叠相加法计算线性卷积是这样的,首先将输入序列$x(n)$拆分成许多的小区间,
然后用每一个小区间和冲击序列$h(n)$进行卷积计算,最后将所得的每一个序列重叠部分进行叠加即可,算法的可行性见式(1-1-2),示意图见式(1-1-3).
$$y(n)=x(n)\ast h(n)=h(n)\ast \sum _{k=0}^{\infty }{x}_k(n)=\sum _{k=0}^{\infty }{y}_k(n)\text{\hspace{1em}(1-1-2)}$$

实际上计算输入序列小区间和冲激序列卷积时,可以利用圆周卷积计算,而圆周卷积的计算可以用$FFT$进行.

二 算法流程

1. $i=0,L=M+N-1$;计算并保存$H(k)=DFT[h(n){]}_L$;

2. 读入$x_i(n)=x(n)R_M(n-iM)$,并计算保存$X(k)=DFT[x_i(n){]}_L$;

3. $Y_i(k)=H(k)X_i(k)$

4. yi(n)=IDFT[Yi(k)]L,n=0,1,2,⋯ ,L−1y_i(n)=IDFT[Y_i(k)]_L,n=0,1,2,\cdots,L-1