kuangbin专题八 URAL1627 Join(生成树计数)

本文介绍了一种通过生成树计数解决卧室联通问题的方法。利用邻接矩阵与生成树计算模板,解决了卧室间的联通方案数问题,并分享了调试过程中遇到的一些常见错误。

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题意:
给出一个图,’.’表示卧室,’*’表示储藏间,每个格子上下左右都有一堵墙,然后需要打通一些卧室的墙(只能是相邻房间才能打通)使得卧室之间联通的方案数.
给每个卧室编个号,给可以打通的卧室加边,就是裸的生成树计数了.
题解:
打通一些卧室的墙之后,卧室之间就会变成一棵树,那么我们只要计算生成树的方案数就好了,怎么做呢,给每个卧室编个号,然后就是计算他们的联通边,写出邻接矩阵,然后弄个生成树计算模板就可以算出来结果了。
题外话:
ORZ,晚上和第二天早上一直超时和WA就是不知道为什么错误了,看了几个博客我看了都是差不多的啊,为什么超时了,为什么错了,最后改者改着发现了很多小问题,比如为什么超时呢?这道题的超时可能是因为你没弄long long int ,还有就是你的点数问题,不能只是10*10的矩阵,应该是100*100的矩阵,因为你原本的图最多可以有81个’.’也就是说最多有81个点,那么你如何是10*10的矩阵就算不出结果了,导致各种错误,还有最倒霉的就是我TM之前用的模板是错的!麻痹只能过一些题,还好做的这道题让我知道我的模板是错误的,不然就TM尴尬了。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long int
const int MAXN=111;
const LL mod=1e9;
char s[MAXN][MAXN];
int map[MAXN][MAXN];
LL B[MAXN][MAXN];
int g[4][2]={1,0,-1,0,0,1,0,-1};
int id[MAXN][MAXN];
int tol;
LL determinant(int n)
{
    LL res=1;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=i+1;j<n;j++)
        {
            while(B[j][i])
            {
                LL t=B[i][i]/B[j][i];
                for(int k=i;k<n;k++)
                {
                    B[i][k]=(B[i][k]-B[j][k]*t%mod+mod)%mod;
                    swap(B[i][k],B[j][k]);
                }
                res=-res;
            }
        }
        if(!B[i][i])    return 0;
        res=res*B[i][i]%mod;
    }
    return (res+mod)%mod;
} 
int main()
{
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        tol=0;
        memset(id,0,sizeof(id));
        memset(B,0,sizeof(B));
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%s",&s[i]);
            for(int j=0;j<m;j++)
            if(s[i][j]=='.')
            id[i][j]=tol++;
        }
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            for(int j=0;j<m;j++)
            {
                if(s[i][j]=='.')
                for(int k=0;k<4;k++)
                {
                    int x=i+g[k][0];
                    int y=j+g[k][1];
                    if(x<0||x>=n||y<0||y>=m||s[x][y]=='*')
                    continue;
                    B[id[i][j]][id[i][j]]++;
                    B[id[i][j]][id[x][y]]=-1;
                }
            }
        }
        tol=tol-1;
        LL ans=determinant(tol); 
        printf("%lld\n",ans);
    }
} 
<think>好的,我需要帮助用户了解Kuangbin的划分树相关资料或教程。首先,我要明确划分树的基本概念,确保自己理解正确。划分树是一种基于线段树的数据结构,主要用于解决区间第K小查询问题。它的核心思想是将区间递归划分,并在每个节点保存排序后的子区间,从而快速定位目标值。 接下来,我需要查阅用户提供的引用内容,看看是否有相关引用可以支持回答。引用[1]提到树链剖分,虽然不直接相关,但可能涉及树结构的处理。引用[2]和[3]讨论了树状数组和线段树在树结构中的应用,这可能与划分树的空间复杂度或实现细节有关。引用[4]关于Tarjan算法,可能与划分树的应用场景不同,暂时不考虑。 然后,我需要组织回答结构。用户希望了解Kuangbin的划分树实现,可能包括算法原理、实现步骤、代码示例以及复杂度分析。根据系统级指令,要使用正确的中文和LaTeX格式,例如数学表达式用$...$,独立公式用$$...$$。 考虑到用户可能需要代码示例,我需要编写Python或伪代码来展示划分树的构建和查询过程。同时,要确保引用相关文献,比如引用[3]提到的线段树家族处理子链的能力,可能在划分树的优化中有所体现。 另外,用户要求生成相关问题,我需要围绕划分树的应用、优化、复杂度等方面提出问题。例如,划分树与其他数据结构(如线段树)的区别,或者如何处理动态数据等。 最后,检查所有LaTeX语法是否正确,如区间划分的数学表达式是否正确使用$符号,代码块是否用三个反引号标注,引用标识是否自然添加在相关段落末尾。确保回答结构清晰,分步骤解释划分树的原理和实现,帮助用户逐步理解。</think>### Kuangbin划分树详解 划分树(Partition Tree)是一种基于线段树的扩展数据结构,主要用于解决**静态区间第K小查询**问题。其核心思想是将区间递归划分,并在每个节点保存排序后的子区间信息,利用二分思想快速定位目标值。 #### 一、算法原理 1. **预处理阶段**: - 将原始数组$[a_1,a_2,...,a_n]$排序得到$sorted\_arr$ - 递归地将当前区间划分为左右子区间: $$left\_part = [sorted\_arr中前mid个元素]$$ $$right\_part = [sorted\_arr中剩余元素]$$ - 记录每个元素在划分过程中进入左子区间的次数(通过`to_left`数组) 2. **查询阶段**: - 根据当前节点的划分信息,判断目标值在左/右子区间 - 通过`to_left`数组快速计算子区间内的元素数量 #### 二、代码实现(Python示例) ```python class PartitionTree: def __init__(self, arr): self.n = len(arr) self.tree = [] self.to_left = [] sorted_arr = sorted(arr) self.build(0, 0, self.n-1, arr, sorted_arr) def build(self, depth, l, r, arr, sorted_arr): if l == r: if len(self.tree) <= depth: self.tree.append([]) self.to_left.append([0]*(self.n+1)) self.tree[depth].append(arr[l]) return # 划分过程(关键步骤) mid = (l + r) // 2 median = sorted_arr[mid] # 统计进入左子树的元素数量[^3] to_left = 0 left_part, right_part = [], [] for num in arr[l:r+1]: if num < median or (num == median and to_left <= mid - l): left_part.append(num) to_left += 1 else: right_part.append(num) # 合并左右部分 merged = left_part + right_part # 存储当前层数据 if len(self.tree) <= depth: self.tree.append([]) self.to_left.append([0]*(self.n+1)) self.tree[depth][l:r+1] = merged self.to_left[depth][l] = 0 cnt = 0 for i in range(l, r+1): if merged[i-l] < median or (merged[i-l] == median and cnt <= mid - l): cnt += 1 self.to_left[depth][i+1] = cnt # 递归构建子树 self.build(depth+1, l, mid, merged[:mid-l+1], sorted_arr) self.build(depth+1, mid+1, r, merged[mid-l+1:], sorted_arr) ``` #### 三、复杂度分析 - 预处理时间复杂度:$O(n \log n)$ - 查询时间复杂度:$O(\log n)$ - 空间复杂度:$O(n \log n)$(与线段树的空间消耗类似)[^2] #### 四、应用场景 1. 静态区间第K小查询(如OJ题目POJ2104) 2. 高维空间最近邻搜索的降维处理 3. 数据压缩中的分块编码
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