求最优值，梯度下降算法 or 偏导等于0 ?

最新推荐文章于 2025-01-12 12:47:57 发布

SkullSky

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分类专栏：机器学习文章标签：梯度下降求解偏导为0 解析解凸优化

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/SkullSky/article/details/106364622

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不论是机器学习中计算最小代价函数，还是深度学习中求损失函数的最小值，本质上都是求解目标函数的最优值（最大或最小值）。

此时，主流方法还是使用梯度下降算法（或上升）进行逐步迭代直到收敛（或接近收敛）。那为什么不直接对损失函数求偏导后，令偏导为0，求出最优解呢？比较典型的如，线性回归问题中采用最小二乘法，求得的解析解如下：

$\theta=(X^TX)^{-1}X^TY$

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轨迹优化 | 基于ESDF的共轭梯度优化算法(附ROS C++/Python仿真)

FRIGIDWINTER的博客

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梯度下降算法实现——基于矩阵的python手写（批量梯度下降、随机梯度下降、小批量梯度下降）

csdn_cc_try

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2301_81762765的博客

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hank0526的博客

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### 梯度下降算法在数字图像处理中的应用场景 梯度下降是一种优化算法，广泛应用于各种领域，在数字图像处理中主要用于参数估计和模型训练。具体来说，该算法用于最小化损失函数，从而找到最优解。 #### 应用场景 1. **图像去噪** 噪声通常会降低图像质量，影响后续分析效果。利用基于变分法的图像恢复模型，可以通过定义能量泛函来表示噪声水平，并采用梯度下降迭代求解使能量最低的状态，进而去除噪声[^1]。 2. **边缘检测** 边缘是图像的重要特征之一。通过构建合适的代价函数衡量边界位置误差大小，再运用梯度下降调整权重直至收敛于真实边界的近似表达，提高边缘提取精度。 3. **超分辨率重建** 对低分辨率输入进行放大得到高分辨率输出的过程中，可引入先验约束条件建立目标函数，借助梯度下降不断更新预测值直到满足预设标准为止，改善细节呈现能力。 4. **颜色校正** 当不同设备间存在色彩偏差时，可通过学习映射关系修正这种差异。此时设定适当的目标函数指导网络参数朝着减小色差方向变化，最终获得一致性的显示效果。 5. **风格迁移** 将一张图片的艺术风格迁移到另一张照片上成为可能。此过程中涉及到两个域之间的转换问题，即源域（艺术作品）到目标域（自然景观）。为了实现平滑过渡，往往需要设计复杂的损失项组合并通过梯度下降完成最优化过程。 ```python import numpy as np from skimage import io, color, img_as_float from scipy.optimize import minimize def gradient_descent(image, lr=0.01, iterations=100): """ A simple example of using gradient descent to denoise an image. Parameters: image (ndarray): Input noisy grayscale or RGB image. lr (float): Learning rate for the update step size during optimization. iterations (int): Number of times we will perform updates on our estimate. Returns: ndarray: Denoised version of input image after applying GD-based restoration technique. """ # Convert into float type and ensure range between [0., 1.] if not already so im = img_as_float(image.copy()) # Initialize with original image values; this serves as starting point before any changes occur restored_img = im.flatten() def loss_function(x): """Define a basic quadratic cost function penalizing large differences.""" diff = x.reshape(im.shape) - im return np.sum(diff**2) grad_func = lambda x : 2*(x-im.ravel()) history = [] best_loss = None for i in range(iterations): current_loss = loss_function(restored_img) if best_loss is None or current_loss < best_loss: best_restoration = restored_img.copy().reshape(im.shape) best_loss = current_loss gradients = grad_func(restored_img) updated_params = restored_img - lr * gradients # Apply clipping operation ensuring pixel intensities remain within valid bounds post-update clipped_updates = np.clip(updated_params, 0., 1.) restored_img[:] = clipped_updates[:] history.append((i+1, current_loss)) return best_restoration, history if __name__ == "__main__": sample_image_path = "path_to_your_noisy_image.jpg" test_im = io.imread(sample_image_path) gray_test_im = color.rgb2gray(test_im) if len(test_im.shape)>2 else test_im result, losses = gradient_descent(gray_test_im) print(f"Final Loss Value Achieved After Optimization Process={losses[-1][1]}") ```