聚类 之 MeanShift

上篇博客介绍了基于距离的K-Means聚类，这次给大家推荐一个基于密度的聚类算法：Meanshift（均值漂移）。

Meanshift 聚类基本原理

Meanshift 聚类的主要思路是：计算某一点A与其半径R内的点之间向量距离的平均值M，得到该点下一步的漂移（移动）方向（A=M+A）和距离（||M||）。当该点不再移动时，计算这个点与历史簇中心的距离，满足小于阈值D即合并为同一个类簇，不满足则自身形成一个类簇。直到所有的数据点选取完毕。

Meanshift 聚类流程简述

相比 K-Means 聚类，Meanshift 最大的优势是不需要人为指定分成几类。该算法会根据分布密度自动将数据归到适合的类中。

Meanshift 聚类算法的大致思想就是 “哪里人多哪里跑” ：

首先，将所有数据点设置为未标价状态。

1. 从未被标记的数据中随机选取一个点作为初始大佬（质心）；
   由于事先并不知道会聚成几类，所以只能一类一类的聚，最后聚成几类就几类了╮(╯▽╰)╭。
2. 以当前大佬为圆心，半径为 $R$（超参1） 画个圆，圆内的点记做集合 $M$，里面为该位大佬的小弟；为了方便日后相认，大佬决定给小弟们一张带来自己标识的保命卡进行标记。
3. 由于是随机选择的大佬，难以服众。这位大佬的小弟们提出要召开选举大会，选出新的大佬（即通过算法选出新的质心）；

• 投票依据：这一届的小弟都很喜欢热闹，哪里人多就往哪边投。依次计算各位小弟到该大佬的向量距离（黑色向量）的平均值 $shift$（绿色向量），如下图所示。
• 更新方式：旧大佬（蓝色圆圈）沿着投票方向即shift向量的方向移动，移动距离是||shift||，即为新大佬的位置（橙色圆圈）。也就是说这个大佬是“虚拟的”。

5. 迭代2~3步骤，直到新大佬和旧大佬之间的偏移量小于某一个设置的阈值 $\delta$ （超参2），即表示重新计算的质心的位置变化不大，趋于稳定，或者说收敛。从而得到一个候选大佬（还不是正式的哈，晋级之路漫漫其修远兮）。
6. 比较这位候选大佬跟正式大佬的距离，若距离小于指定的阈值 $\omega$（超参3），则合并这两个大佬。否则，将该候选大佬提升为正式大佬，类别数加1；
7. 迭代上述1~5步骤，直到所有数据点都被标记；
8. 正式大佬全部确定下来后，小弟们就要选择投靠哪位大佬了。根据大佬在晋级路上发给小弟们的保命卡数量（即每个正式大佬对每个小弟的访问频数），小弟们选择投靠给自己保命卡最多的大佬（即对自己访问频数最大的那个大佬）。看样子小弟们还是很念旧情的哈。

• 注意：上面涉及的三个超参是需要用户人为指定的哈。

实例演示

看了上面的原理简述，估计还是有点糊涂，下面举一个非常形象简单的例子。

如下图所示，有6个点，从图上看应该可以分成两堆，前三个点一堆，后三个点另一堆。现在我手工地把MeanShift 算法的计算过程演示一下，同时检验是不是和预期一致：

1. 随机选择一个初始大佬（就选 P2），开始它的晋级之路；

2. 以 $R=5$ 为半径，圈定大佬的势力范围。在范围内的点 P1、P3 即为该大佬的小弟。大佬为了笼络小弟们的心，给范围内的小弟人手一张保命卡。此时所有数据点的保命符情况：

保命符	P1	P2	P3	P4	P5	P6
大佬1	1	0	1	0	0	0

3. 召开选举大会，重新选大佬。

   首先，计算各位小弟到该大佬的向量距离（黑色向量）的平均值 $shift$。

	P1	P3
距离向量	$(-1,-2)$	$(2,-1)$

则， $$shift=(\frac{-1+2}{2}，\frac{-2-1}{2})=（0.5，-1.5）$$

此时，旧大佬沿着shift向量的方向进行漂移，漂移长度为||shift||，即为新大佬 P 哥的位置：$(1,2)+(0.5,-1.5)=(1.5,0.5)$

4. 令超参 $\delta =1$，由于上一步偏移距离 ∣ ∣ s h