利用声子色散曲线推导刚度矩阵

材料的弹性特征可以使用刚度矩阵来进行完全描述。刚度矩阵中任意元素都可以根据由第一性原理计算得出的声子色散曲线来确定。

在本次案例研究中，我们介绍了一个用立方体结构来分析硅、金刚石和铜单晶的刚度矩阵的方法。

如图1，硅是具有金刚石结构的立方晶体，其刚度矩阵如下所示。

由于立方晶体具有对称性，使用SIESTA模拟软件计算可得该模型中有3个独立元素：C11C11，C12C12，和C44C44。

图1  硅的金刚石结构

立方晶体的刚度矩阵

硅的声子色散曲线可以用SEISTA模拟软件直接计算（如图2）。

根据硅的晶胞中原子数为2这一事实依据，硅有三种声振模式和三种光学模式。硅是具有金刚石结构的立方晶体，其色散曲线表现出不同晶体取向的色散特性。

这里我们重点关注从ΓX点指向的(1,0,0)方向，和从ΓL点指向的(1,1,1)方向扩展的声振模式色散特性。声振模式的色散特性在近场的长波区呈线性Γ，且该梯度曲线给出了声速。

图2  硅的声子色散曲线

图3  区域1和2的色散曲线
图中虚线表示靠近该区域的每个传播方向上的声速Γ点，下标L/T代表纵波和横波。

在（1,0,0）方向传播的声波由一个纵波和两个简并后的横波组成，它们各自的声速和刚度矩阵可以表示为下列关系式，由此结果可得C11C11 和 C44C44。

进一步使用该结果，根据（1,1,1）方向传播的声波可以得到c12。在本案例中，梯度（声速）在Γ点可以通过使用图中1和2区域的三阶最小二乘法构造一条近似曲线获得，这是SIESTA模块的声子分析功能。根据取得的声速，可以按以下公式计算刚度矩阵。

声速与(1,0,0)/(1,1,1)方向上刚度矩阵的关系。
各个箭头表示偏振方向，红色箭头表示纵波，绿色箭头表示横波。ρ表示硅的重量密度。

表1给出分析所得刚度矩阵中每个元素值和文献中的值之对比。（C. Kittel 《固体物理学导论》，红色括号）。

表1  刚度矩阵所得值与文献中的值对比