BZOJ2190 [SDOI2008]仪仗队

最新推荐文章于 2019-03-29 16:41:49 发布

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莫比乌斯反演

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本文针对仪仗队问题，提供了一种高效的算法解决方案。通过分析仪仗队成员排列的特性，利用数学公式推导出计算整齐队伍可见成员数量的方法。采用埃拉托斯特尼筛法预处理莫比乌斯函数值，实现O(n)时间复杂度求解。

原题链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2190

仪仗队

Description

作为体育委员，C君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的N * N的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。

现在，C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。

Input

共一个数N。

Output

共一个数，即C君应看到的学生人数。

Sample Input

Sample Output

HINT

【数据规模和约定】

对于 100% 的数据，1 ≤ N ≤ 40000

题解

看得到的矩形肯定是边长互质的，所以可以列式子：

\sum i = 1 n \sum j = 1 n [g c d (i, j) = 1]

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)=1]$

简单的化简一下：

\sum d = 1 n μ (d) ⌊ n d ⌋ ⌊ n d ⌋

$\sum_{d=1}^n\mu(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\lfloor\frac{n}{d}\rfloor$

然后 $O(n)$ ，很爽。

网上还有一堆套 $\varphi$ 的。。。

代码

#include<cstdio>
using namespace std;
const int M=4e4+5;
int miu[M],p[M/3],n,ans;
bool isp[M];
void pre(int n)
{
    miu[1]=isp[1]=1;
    for(int i=2,t;i<=n;++i)
    {
        if(!isp[i])p[++p[0]]=i,miu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=p[0];++j)
        {
            t=i*p[j];if(t>n)break;
            isp[t]=1;
            if(i%p[j]==0){miu[t]=0;break;}
            miu[t]=-miu[i];
        }
        ans+=miu[i]*(n/i)*(n/i);
    }
    ans+=n*n;
}
void in(){scanf("%d",&n);}
void ac(){n-=1;pre(n);printf("%d",ans+2);}
int main(){in();ac();}