【bzoj2190】【SDOI2008】仪仗队（数论）

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本文介绍了一种计算N×N网格中满足特定条件的人物数量的方法。关键在于利用欧拉函数求解互质对的数量，并通过线性筛提高效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题目描述】

传送门

【题解】

由题意可知可以由对角线分成两半，且人数相等。
满足能被看见的条件是：横坐标与纵坐标互质。反证：设gcd(i,j)=d，那么坐标为(i,j)的人一定可以被坐标为( $\frac id$ , $\frac jd$ )的人挡住。
最左下角的三个能看见的点应该单独计算。
即计算N*N矩阵的公式为

(\sum i = 2 N - 1 ϕ (i)) * 2 + 3

$(\sum\limits_{i=2}^{N-1} \phi(i)) *2+3$
我们可以用欧拉筛线性筛出

ϕ $\phi$ 的值，时间是O(N)的。

【代码】

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int N,ans;
int p[80000],phi[80000],prime[80000];
inline void getphi(){
    phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=N;++i){
        if (!p[i]){
            prime[++prime[0]]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for (int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=N;++j){
            p[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0){
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&N);
    if (N==1) {printf("1\n"); return 0;}
    if (N==2) {printf("3\n"); return 0;}
    getphi();
    for (int i=2;i<N;++i)
      ans+=phi[i];
    ans*=2;
    ans+=3;
    printf("%d\n",ans); 
}