[学习笔记] 线性筛求欧拉函数

本文介绍了线性筛算法,并详细解析了如何利用该算法高效地计算欧拉函数φ(n)。通过分析代码,展示了如何确保每个合数仅由其最小质因子筛除,从而达到线性时间复杂度。

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  • 先放上线性筛的代码。
for (int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        if (!vis[i]) pri[++pr] = i;
        for (int j = 1; j <= pr; ++j)
        {
            if (1ll * pri[j] * i > n) break;
            vis[pri[j] * i] = true;
            if (i % pri[j] == 0) break;
        }
    }
  • 其实去掉下面这行代码就和一般的筛法差不多了:
if (i % pri[j] == 0) break;
  • 证明直接引用吧:

    pri[]pri[] 数组中的素数是递增的,当 ii 能整除 pri[j],那么 i×pri[j+1]i×pri[j+1] 这个合数肯定被 pri[j]pri[j] 乘以某个数筛掉。
    因为 ii 中含有 pri[j]pri[j]pri[j]pri[j+1]pri[j+1] 小,即 i=k×pri[j]i=k×pri[j]
    那么i×pri[j+1]=(k×pri[j])×pri[j+1]=k×pri[j]i×pri[j+1]=(k×pri[j])×pri[j+1]=k′×pri[j]
    接下去的素数同理,所以不用筛下去了。
    因此,每个合数只会被它的最小质因子筛去。

  • 时间复杂度 O(n)O(n)


  • 接下来使用线性筛求 φ(n)φ(n)
inline void solve()
{
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        if (!vis[i]) pri[++pr] = i, phi[i] = i - 1;
        for (int j = 1; j <= pr; ++j)
        {
            if (1ll * pri[j] * i > n) break;
            int tmp = pri[j] * i;
            vis[tmp] = true;
            if (i % pri[j] == 0) 
            {
                phi[tmp] = phi[i] * pri[j];
                break;
            }
            phi[tmp] = phi[i] * (pri[j] - 1);
        }
    }
}
  • 容易知道:
    • nn 为质数,φ(n)=n1
    • φ(n)φ(n) 为积性函数,若 n,mn,m 互质,φ(nm)=φ(n)×φ(m)φ(nm)=φ(n)×φ(m)
  • 实际上就对应代码中 ii 为质数 和 i%pri[j]0 的情况了。
  • 我们设 n=i=1mpqii(pin)n=∏i=1mpiqi(pi为n的质因子),则 φ(i=1mpqii)=i=1m(pi1)pqi1iφ(∏i=1mpiqi)=∏i=1m(pi−1)piqi−1
  • 那么若 i%pri[j]=0i%pri[j]=0,令
    φ(i)=φ(pri[j]k×i=1mpqii)=(pri[j]1)pri[j]k1×i=1m(pi1)pqi1iφ(i)=φ(pri[j]k×∏i=1mpiqi)=(pri[j]−1)pri[j]k−1×∏i=1m(pi−1)piqi−1
    φ(i×pri[j])=φ(pri[j]k+1×i=1mpqii)=(pri[j]1)pri[j]k×i=1m(pi1)pqi1i∴φ(i×pri[j])=φ(pri[j]k+1×∏i=1mpiqi)=(pri[j]−1)pri[j]k×∏i=1m(pi−1)piqi−1
  • 所以 φ(i×pri[j])=φ(i)×pri[j]φ(i×pri[j])=φ(i)×pri[j],得证剩下一种情况。

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