- 先放上线性筛的代码。
for (int i = 2; i <= n; ++i)
{
if (!vis[i]) pri[++pr] = i;
for (int j = 1; j <= pr; ++j)
{
if (1ll * pri[j] * i > n) break;
vis[pri[j] * i] = true;
if (i % pri[j] == 0) break;
}
}
- 其实去掉下面这行代码就和一般的筛法差不多了:
if (i % pri[j] == 0) break;
证明直接引用吧:
pri[]pri[] 数组中的素数是递增的,当 ii 能整除 ,那么 i×pri[j+1]i×pri[j+1] 这个合数肯定被 pri[j]pri[j] 乘以某个数筛掉。
因为 ii 中含有 ,pri[j]pri[j] 比 pri[j+1]pri[j+1] 小,即 i=k×pri[j]i=k×pri[j]。
那么i×pri[j+1]=(k×pri[j])×pri[j+1]=k′×pri[j]i×pri[j+1]=(k×pri[j])×pri[j+1]=k′×pri[j]。
接下去的素数同理,所以不用筛下去了。
因此,每个合数只会被它的最小质因子筛去。时间复杂度 O(n)O(n)。
- 接下来使用线性筛求 φ(n)φ(n)。
inline void solve()
{
for (int i = 2; i <= n; ++i)
{
if (!vis[i]) pri[++pr] = i, phi[i] = i - 1;
for (int j = 1; j <= pr; ++j)
{
if (1ll * pri[j] * i > n) break;
int tmp = pri[j] * i;
vis[tmp] = true;
if (i % pri[j] == 0)
{
phi[tmp] = phi[i] * pri[j];
break;
}
phi[tmp] = phi[i] * (pri[j] - 1);
}
}
}
- 容易知道:
- 若 nn 为质数,。
- φ(n)φ(n) 为积性函数,若 n,mn,m 互质,φ(nm)=φ(n)×φ(m)φ(nm)=φ(n)×φ(m)。
- 实际上就对应代码中 ii 为质数 和 的情况了。
- 我们设 n=∏i=1mpqii(pi为n的质因子)n=∏i=1mpiqi(pi为n的质因子),则 φ(∏i=1mpqii)=∏i=1m(pi−1)pqi−1iφ(∏i=1mpiqi)=∏i=1m(pi−1)piqi−1。
- 那么若 i%pri[j]=0i%pri[j]=0,令 φ(i)=φ(pri[j]k×∏i=1mpqii)=(pri[j]−1)pri[j]k−1×∏i=1m(pi−1)pqi−1iφ(i)=φ(pri[j]k×∏i=1mpiqi)=(pri[j]−1)pri[j]k−1×∏i=1m(pi−1)piqi−1∴φ(i×pri[j])=φ(pri[j]k+1×∏i=1mpqii)=(pri[j]−1)pri[j]k×∏i=1m(pi−1)pqi−1i∴φ(i×pri[j])=φ(pri[j]k+1×∏i=1mpiqi)=(pri[j]−1)pri[j]k×∏i=1m(pi−1)piqi−1
- 所以 φ(i×pri[j])=φ(i)×pri[j]φ(i×pri[j])=φ(i)×pri[j],得证剩下一种情况。