[线筛五连]线筛约数和

没做到过要用这玩意儿的。。。

线筛约数和

约数和的定义

定义如它的名字所示，表达式如下：

$$\sigma_1(x)=\sum_{d|x}d$$

约数和的性质

根据算术基本定理，计算约数和有个公式，设$x=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_n^{a_n}$，那么有：

$$\sigma_1(x)=(1+p_1+p_1^2+...+p_1^{a_1})(1+p_2+p_2^2+...+p_2^{a_2})...(1+p_n+p_n^2+...+p_n^{a_n})$$

积性也很好证，两个互质的数拥有两个不同的质因数集合，根据上面的公式，显然是可以直接乘起来的。

其他的性质因为没用过，也不太了解。。。

约数和的线筛

按照惯例，设$T=i\times p[j]$。

根据线筛$\sigma_0(x)$的套路，我们也开一个数组$prod[i]$表示以$1$为首项，$i$的最小质因数为公比，项数为$i$的最小质因数的指数的等比数列的和。

1.当$T$为素数时，$T$的因数只有$1$和它本身，所以$\sigma_1(T)=prod[i]=T+1$；

2.当$T$拥有多个最小质因子（即$i\ mod\ p[j]=0$）时，因为$p[j]$为$i$的最小质因子，那么$T$与$i$相比，就是在$1+p[j]+p[j]^2+...+p[j]^n$这个等比数列里比$i$多了一个$p[j]^{n+1}$，所以有：$prod[T]=prod[i]\times p[j]+1,\sigma_1(T)=\sigma_1(i)\times\frac{prod[T]}{prod[i]}$；

3.当$T$的最小质因子都只有一个（即$i\ mod\ p[j]≠0$）时，$p[j]$为$T$的最小质因子，所以有$prod[T]=p[j]+1,\sigma_1(T)=\sigma(i)\times (p[j]+1)$;

综上：

$$\sigma_1(T)=\left\{ \begin{array}\\ T+1&&{T\in Prime}\\ \sigma_1(i)\times\frac{prod[T]}{prod[i]}&&{i\ mod\ p[j]=0}\\ \sigma_1(T)=\sigma(i)\times (p[j]+1)&&{i\ mod\ p[j]≠0} \end{array}\right.$$

代码

void get()
{
    R i,j,t;
    check[1]=prod[1]=sumd[1]=1;
    for(i=2;i<=N;++i)
    {
        if(!check[i])prod[i]=sumd[i]=1+i,p[++p[0]]=i;
        for(j=1;j<=p[0];++j)
        {
            t=i*p[j];if(t>N)break;
            check[t]=1;
            if(i%p[j]==0){prod[t]=prod[i]*p[j]+1;sumd[t]=sumd[i]/prod[i]*prod[t];break;}
            prod[t]=p[j]+1,sumd[t]=sumd[i]*(p[j]+1);
        }
        sumd[i]+=sumd[i-1];
    }
}