多元复合函数的求导法则（一元函数与多元函数复合、多元函数与多元函数复合、混合形式）

多元复合函数不同的复合形式，分三种情形讨论。

1.一元函数与多元函数复合的情形

定理1：如果函数$u=\phi (t)$及$v=\psi (t)$都在点t可导，函数$z=f(u,v)$在对应点$(u,v)$具有连续偏导数，那么复合函数$z=f[\phi (t),\psi (t)]$在点t可导，且有
$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}\text{\hspace{1em}(1)}$$
用同样的方法，可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。

例如，设
$$z=f(u,v,w),u=\phi (t),v=\psi (t),w=w(t)$$
复合而得复合函数
$$z=f[\phi (t),\psi (t),w(t)]$$
则在与定理相类似的条件下，这复合函数在点t可导，且其导数可用下列公式计算：
$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}+\frac{\partial z}{\partial w}\frac{dw}{dt}\text{\hspace{1em}(2)}$$
在公式（1）及公式（2）中的导数$\frac{dz}{dt}$称为全导数。

2. 多元函数与多元函数复合的情形

定理2：如果函数$u=\phi (x,y)$及$v=\psi (x,y)$都在点$(x,y)$具有对x及对y的偏导数，函数$z=f(u,v)$在对应点$(u,v)$具有连续偏导数，那么复合函数$z=f[\phi (x,y),\psi (x,y)]$在点$(x,y)$的两个偏导数都存在，且有
$$\begin{gathered} \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y} \end{gathered}$$
类似地，设$u=\phi (x,y)、v=\psi (x,y)$及$w=\omega (x,y)$都在点$(x,y)$具有对x及对y的偏导数，函数$z=f(u,v,m)$在对应点$(u,v,w)$具有连续偏导数，则复合函数
$$z=f([\phi (x,y),\psi (x,y),\omega (x,y)])$$
在点$(x,y)$的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算：
$$\begin{gathered} \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial y} \end{gathered}$$

3.其他情形

定理3：如果函数$u=\phi (x,y)$在点$(x,y)$具有对x及对y的偏导数，函数$v=\psi (y)$在点y可导，函数$z=f(u,v)$在对应点$(u,v)$具有连续偏导数，那么复合函数$z=f[\phi (x,y),\psi (y)]$在点$(x,y)$的两个偏导数都存在，且有
$$\begin{gathered} \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dy} \end{gathered}$$
上述情形实际上是情形2的一种特例，即在情形2中，如变量v与x无关，从而$\frac{\partial v}{\partial x}=0$；在v对y求导时，由于$v=\psi (y)$是一元函数，故$\frac{\partial v}{\partial y}$换成了$\frac{dv}{dy}$，这就得上述结果。

在情形3中，还会遇到这样的情形：复合函数的某些中间变量本身又是复合函数的自变量。

例如，设$z=f(u,x,y)$具有连续偏导数，而$u=\phi (x,y)$具有偏导数，则复合函数$z=f[\phi (x,y),x,y]$可看做情形2中当$v=x,w=y$的特殊情形。

因此
$$\begin{gathered} \frac{\partial v}{\partial x}=1,\frac{\partial w}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial v}{\partial y}=0,\frac{\partial w}{\partial y}=1 \end{gathered}$$
从而复合函数$z=f[\phi (x,y),x,y]$具有对自变量x及y的偏导数，且有情形2的定理知
$$\begin{gathered} \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial y} \end{gathered}$$
注意：这里$\frac{\partial z}{\partial x}$与$\frac{\partial f}{\partial x}$是不同的，$\frac{\partial z}{\partial x}$是把复合函数$z=f[\phi (x,y),x,y]$中的y看做不变而对x的偏导数，$\frac{\partial f}{\partial x}$是把$f(u,x,y)$中的u及y看做不变而对x的偏导数。$\frac{\partial z}{\partial y}$与$\frac{\partial f}{\partial y}$也有类似的区别。