线性代数——行列式

行列式的概念

二阶行列式

• 4个数排成2行2列的数表，记
  $$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$$
  为该数表确定的二阶行列式。
• 计算方法称为对角线法则。

三阶行列式

$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}$$

• 同样符合对角线法则

全排列

• 比如123的全排列：123、132、213、231、312、321
• 有n!个，即n×(n+1)×…×1

逆序数

• n个自然数构成一个排列，规定由小到大为标准次序，如果比p_i大且排在p_i前的数有t_i个，就说p_i这个元素的逆序数是t_i，全部元素的逆序数之和为这个排列的逆序数。
• 比如32514的逆序数：0+1+0+3+1=5

n阶行列式

• 观察三阶行列式，右边每一项是不同行不同列元素的乘积，写成$a_{1p_1}{a}_{2p_2}{a}_{3p_3}$，行标为标准次序，列标构成全排列
• 设p₁p₂p₃的逆序数为t，则各项的正负号为(-1)^t
• 三阶行列式可以写成
  $$D=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=\sum (-1{)}^t{a}_{1p_1}{a}_{2p_2}{a}_{3p_3}$$
• n阶行列式记作
  $$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\sum (-1{)}^t{a}_{1p_1}{a}_{2p_2}\cdots a_{n{p}_n}$$

特殊行列式

• 对角行列式：除对角线外其余元素为0
  $$\left|\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right|={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$$
• 反对角行列式
  $$\left|\begin{array}{cccc}& & & {\lambda }_1\\ & & {\lambda }_2& \\ & \cdot & & \\ {\lambda }_n& & & \end{array}\right|=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$$
  逆序数：$0+1+\cdots +(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$
• 下三角行列式
  $$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& & & \\ a_{21}& a_{22}& & \\ ⋮& ⋮& \ddots & \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}$$
• 上三角行列式、反下三角行列式、反上三角行列式同理
• 分块行列式
  $$D=\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1k}& & & \\ ⋮& & ⋮& & 0& \\ a_{k1}& \cdots & a_{kk}& & & \\ c_{11}& \cdots & c_{1k}& b_{11}& \cdots & b_{1n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ c_{n1}& \cdots & c_{nk}& b_{n1}& \cdots & b_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1k}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{k1}& \cdots & a_{kk}\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & b_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ b_{n1}& \cdots & b_{nn}\end{array}\right|$$

行列式的性质

1. 行列式与它的转置行列式相等
2. 互换行列式的两行（列），行列式变号
   以r_i表示第i行，c_j表示第j列，交换i、j两行记作$r_i\leftrightarrow r_j$，交换i、j两列记作$c_i\leftrightarrow c_j$
   推论： 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于0
3. 行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k，等于用数k乘此行列式
   记作r_i×k
   推论： 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面
   记作r_i÷k
4. 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于0
5. 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和，则：
   $$D=\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1i}+a_{1i}^{\prime }& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2i}+a_{2i}^{\prime }& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{ni}+a_{ni}^{\prime }& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1i}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2i}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{ni}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1i}^{\prime }& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2i}^{\prime }& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{ni}^{\prime }& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$
   若n阶行列式每个元素都表示成两数之和，则它可分解成2ⁿ个行列式。
6. 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变
   数k乘第j列加到第i列上，记作c_i+kc_j

利用性质计算行列式

【例】$$\begin{gathered} D=\left|\begin{array}{cccc}3& 1& -1& 2\\ -5& 1& 3& -4\\ 2& 0& 1& -1\\ 1& -5& 3& -3\end{array}\right|\stackrel{c_1\leftrightarrow c_2}{=}-\left|\begin{array}{cccc}1& 3& -1& 2\\ 1& -5& 3& -4\\ 0& 2& 1& -1\\ 5& 1& 3& -3\end{array}\right|\underset{r_4+5r_1}{\overset{r_2-r_1}{=}}-\left|\begin{array}{cccc}1& 3& -1& 2\\ 0& -8& 4& -6\\ 0& 2& 1& -1\\ 0& 16& -2& 7\end{array}\right| \\ \stackrel{r_2\leftrightarrow r_3}{=}\left|\begin{array}{cccc}1& 3& -1& 2\\ 0& 2& 1& -1\\ 0& -8& 4& -6\\ 0& 16& -2& 7\end{array}\right|\underset{r_4-8r_2}{\overset{r_3+4r_2}{=}}\left|\begin{array}{cccc}1& 3& -1& 2\\ 0& 2& 1& -1\\ 0& 0& 8& -10\\ 0& 0& -10& 15\end{array}\right|\stackrel{r_4+\frac{5}{4}{r}_3}{=}\left|\begin{array}{cccc}1& 3& -1& 2\\ 0& 2& 1& -1\\ 0& 0& 8& -10\\ 0& 0& 0& \frac{5}{2}\end{array}\right|=40 \end{gathered}$$
注意： 运算次序不能颠倒；r₁+r₂ ≠ r₂+r₁

行列式按行（列）展开

• n阶行列式中，把a_ij所在行列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做a_ij的余子式，记作M_ij
• 记A_ij=(-1)^i+jM_ij，A_ij叫做a_ij的代数余子式
• 引理：一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除a_ij外都为0，那么这个行列式等于a_ij与它的代数余子式的乘积，即
  $$D=a_{ij}{A}_{ij}$$
  证明：假设第一行中a₁₁不等于0，其余元素皆为0，形如分块行列式。其余情形可通过交换变成这种情形。
• 定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素的与其对应的代数余子式乘积之和，即
  $$\begin{gathered} D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{in}{A}_{in} \\ D=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+\cdots +a_{nj}{A}_{nj} \end{gathered}$$
  证明：利用性质5
• 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于0，即
  $$\begin{gathered} a_{i1}{A}_{j1}+a_{i2}{A}_{j2}+\cdots +a_{in}{A}_{jn}=0,i\ne j \\ {a}_{1i}{A}_{1j}+a_{2i}{A}_{2j}+\cdots +a_{ni}{A}_{nj}=0,i\ne j \end{gathered}$$
  证明：相当于把第j行（列）的元素换成第i行（列）的元素，两行（列）元素相同，行列式为0。

克拉默法则

$$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2,\\ \cdots \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$$

• 如果线性方程组的系数行列式 D 不等于零，那么方程组有唯一解：
  $$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},\cdots ,x_n=\frac{D_n}{D}$$
  其中D_j为系数行列式 D 中第j列元素用方程组右端的常数项代替后得到的n阶行列式。
• 定理1：如果线性方程组的系数行列式 D≠0，则方程组一定有解，且解是惟一的。
  逆否定理：如果线性方程组无解或有多个不同的解，则它的系数行列式必为0。
• 定理2：对于齐次线性方程组（b_i皆为0），如果系数行列式 D≠0，则没有非零解。
  如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为0。