线性代数【19】叉积

最新推荐文章于 2023-11-11 19:27:08 发布
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分类专栏： 数学 文章标签： 线性代数 算法 矩阵
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本文详细探讨了二维和三维空间中向量叉乘的概念，包括叉乘的几何意义、符号规则以及与行列式的关系。叉乘结果的大小表示平行四边形或平行六面体的面积/体积，方向遵循右手定则。通过行列式的值可以计算叉乘的大小，并且介绍了叉乘的点积表示法，强调了叉乘与线性变换的联系。文章还讨论了叉乘的性质和计算方法，并给出了实际应用示例。

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1 标准的定义：

【案，一般叉积的定义是行向量，这个和本节里面讨论的列向量的结果是一致的】 

 

1.1 两个向量，他们围成平行四边形的面积就是叉乘的结果：

1.2 考虑叉乘的符号：

v如何在w的右侧，那么为正，否则为负

 

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线性代数的本质（七）——叉积
LFasd97的博客
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叉积的标准介绍 我们知道叉积的这个 在学习线性代数的时候，我们知道，两个向量做叉积运算会得出一个新的向量，新向量垂直于原两个向量所在的平面，而且新向量的长度是原两个向量所围成的面积大小。 a⃗×b⃗=det⁡([i^j^k^axayazbxbybz])=det⁡([i^axbxj^aybyk^azbz])\vec{a} \times \vec{b} = \det \left( \begin{bm...
关于叉积
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学过计算几何以后，我发现几乎每一道题都用到了叉积这个东西 叉积是什么呢 在这个图中（以原点为中心）叉积就是x1*y2-x2*y1 ( 记得话就记1221，x前y后） 但是这并不是完全正确 比如说这个图 在这个图中，点1和点2是以点0为中心，不是原点 因此我们可以把点0当成原点 则 x1 = p1.x-p0.x; y1 = p1.y-p0.y; x2 = p2.x-p0.x...
线性代数-叉积
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线性代数基础(点成与叉乘)
PX1525813502的博客
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本文主要介绍一些图形学相关的线性代数技术知识, 这方面的知识现在自己多数都还给老师了, 工作中需要再来捡一波吧。
【线性代数】向量点乘与叉乘含义与计算方式
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11-11 5480
（3）点乘用于计算向量间的夹角、投影和长度；叉乘用于计算法向量、面积和判断线性。（1）点乘结果是一个标量，叉乘结果是一个向量。几何意义：表征或计算两个向量间的夹角，及。（2）点乘满足交换律，而叉乘满足反交换律。：夹角在90°到180°之间。：夹角在0°到90°之间。
叉积
晓龙想飞 的专栏
09-07 451
叉积公式为：dotProduct = |dirA| * |dirB| * cos<dirA, dirB>再结合余弦曲线可以知道: 当夹角在[0,90], [270, 360]区间内，cos > 0 当夹角在[90, 270]区间内，cos < 0所以你跟目标点方向的叉积 > 0时，说明你正面向它；而当你跟目标点的方向的叉积 < 0 时，说明你背对它。
19年线性代数期末卷1
08-03
在本份19年的线性代数期末试卷中，主要涉及了计算行列式、求平行四边形面积、矩阵方程的非零解、矩阵相似、二次型的性质以及基变换等内容。 1. 计算行列式（14分） 题目要求计算两个行列式的值。行列式是线性代数中...
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数据压缩读书笔记——线性代数的几何意义（三）
CRR的博客
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是凹进去的，所以我们可以先按顺序算叉积相加（不取绝对值），最后的结果取绝对值,最后的结果就是面积（如下图，绿色的面积是正的，红色的面积是负的，相加取绝对值就是最后的面积）两个向量的乘积，设有p1，p2两个坐标，p1表示从（0,0）点出发，到（x1，y1）的坐标，p2表示从（0,0）点出发，到（x2，y2）的坐标。那么我们可以发现，依次求叉积相加的结果的绝对值依旧等于三角形的面积（红色面积是负数，绿色面积是正数）当从p2走到p3的时候我们是往左，p3走到p4的时候往左，但是在p4走到p1的时候是往右，而。
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1.什么是叉积 2.叉积长度的确定：叉积的长度就是用来相乘的两个向量所围成的平行四边形的面积。 3.叉积的方向：右手定则
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### 线性代数中叉积的概念 叉积是一种仅定义于三维欧几里得空间中的二元运算，其结果是一个与两个输入向量都垂直的新向量。给定两个不共线的向量 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\)，它们的叉积记作 \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\)[^2]。 ### 叉积的计算方法 对于两个向量 \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)\) 和 \(\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)\)，叉积可以通过下列行列式的展开来计算： \[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k} \] 其中，\(\mathbf{i}, \mathbf{j},\) 和 \(\mathbf{k}\) 是标准正交基底向量，在笛卡尔坐标系下分别指向 \(x,\ y,\ z\) 轴方向[^2]。 ```python import numpy as np def cross_product(a, b): result = np.cross(a, b) return result # Example usage: vector_a = [1, 0, 0] vector_b = [0, 1, 0] print(cross_product(vector_a, vector_b)) ``` 上述Python代码展示了如何利用NumPy库快速实现两向量间的叉积操作。 ### 叉积的应用场景 在计算机图形学领域内，叉积被用来确定由三个顶点构成三角形面片的方向（即法线），这对于光照模型至关重要；另外也常用于碰撞检测算法之中，帮助判断物体间相对位置关系及其接触情况。此外，当涉及到旋转和平移变换时，叉积同样发挥着不可或缺的作用[^1]。
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