线性代数基础(1)——行列式与矩阵

  第一节博客已经整理了求导的公式,一些常用的概念。链接如下:高等数学基础(1)-优快云博客

        而第二节博客整理了微积分的公式及其相关概念。链接如下:高等数学基础(2)——微积分-优快云博客

        第三节博客则整理了泰勒公式和拉格朗日公式相关概念。链接如下:高等数学基础(3)——泰勒公式与拉格朗日-优快云博客

   这里我打算再补充一下关于线性代数的基础。

  (注意:目前自己补充到的所有知识点,均按照自己之前看的网课视频中老师课程知识点走的,大概是四年前了,并不是大学课本的搬运,只是快速总结。如有错误请多多指正,谢谢!)

1,行列式

1.1  行列式的定义

  行列式在数学中,是一个函数,其定义域为det的矩阵A,取值为一个标量,写作 det(A) 或 |A|。无论是在线性代数,多项式理论,还是微积分学中(比如换元积分法),行列式作为基本的数学工具,都有着重要的应用。

  下面先看看二次线性方程组的求解:

  当  a11a22  - a12a21 ≠ 0 方程组有唯一解:

  我们看行列式,发现其好像有点规律:

  表达式 a11a22  - a12a21 即为二阶行列式。

  其中 aij (i=1,2;j=1,2) 称为元素。 i 代表行标, j 代表列标。

  三阶行列式如下:

  所以可以得到行列式的定义为:n阶行列式是由 n 阶方阵形式的 n2 个数 aij(i,j=1,2,...n)确定的一个数,其值为 n!项之和。若n阶方阵A=(aij),则A相应的行列式D记为:D=|A|=detA=det(aij);若矩阵A相应的行列式D=0,称A为奇异矩阵,否则称为非奇异矩阵。

  下面尝试计算一个三阶行列式,根据如上算法,计算过程如下:

1.2  行列式的性质
  • 1,行列式A中某行(或者列)用同一数 k 乘,其结果等于 kA
  • 2,行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)
  • 3,若 n 阶行列式 |aij| 中某行(或列);行列式则 |aij| 是两个行列式的和,这两个行列式的第 i 行(或列),一个是 b1, b2,...bn,另一个是 c1, c2,...cn,其余各行(或列)上的元与 |aij| 的完全一样
  • 4,行列式A中两行(或列)互换,其结果等于-A
  • 5,把行列式A的某行(或列)中各元同乘一数后加到另一行(或列)中对应元上,结果仍然是A
1.3  矩阵与数据之间的关系

  我们学习矩阵的目的,最终是要应用到机器学习,而不是单纯的学习数学推导,下面看矩阵和数据之间关系。

  比如A,B,C,D 代表四座城市,他们之间可通行的关系为:

  如果有表格的形式表示,则表示如下:

2,矩阵

2.1  矩阵的定义

  在数学中,矩阵(Matrix)是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合,最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵,这一概念由19世纪英国数学家凯里首先提出。

  何谓矩阵就是输入的数据就是矩阵,对数据做任何的操作都是矩阵的操作。

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