欧拉函数φ

函数作用

计算$1$ ~ $n$中有多少个与$n$互质的数。

函数公式

$\phi (n)=n\times \frac{p_1-1}{p_1}\times \frac{p_2-1}{p_2}\times \dots \dots \times \frac{p_m-1}{p_m}$
$p_i$为$N$分解后的第$i$个质因数。

公式证明

欧拉函数是积性函数，所以$\phi (ab)=\phi (a)\ast \phi (b)$
同理$\phi (n)=\phi (p_1^{c_1})\times \phi (p_2^{c_2})\times \phi (p_3^{c_3})\times \phi (p_4^{c_4})\times \dots \dots \times \phi (p_n^{c_n})$

然后我们再一一来看$p_1^{c_1}$ ~ $p_n^{c_n}$的欧拉函数值。
欧拉函数求的是有多少个数与代入值互质，那么我们可以换一个思路，就是用所有数的数量减去不与代入值互质的数的数量。
对于$p_i^{c_i}$来说，因为$p_i$是质数，所以在$1$ ~ $p_i^{c_i}$中只有是$p_i$的倍数的数不与$p_i^{c_i}$互质，那么在$1$ ~ $p_i^{c_i}$中这样的数有：$p_i$，$p_i\times 2$，$p_i\times 3$，$p_i\times 4\dots \dots$，$p_i\times p_i^{c_i-1}$

所以一共有$p_i^{c_i-1}$个，而$1$ ~ $p_i^{c_i}$中，一共有$p_i^{c_i}$个数，所以$\phi (p_i^{c_i})$的值就是$p_i^{c_i}-p_i^{c_i-1}$，从中提取一个$p_i^{c_i}$就是$p_i^{c_i}\times (1-\frac{1}{p_i})$

接着就是计算$\phi (p_1^{c_1})\times \phi (p_2^{c_2})\times \phi (p_3^{c_3})\times \phi (p_4^{c_4})\times \dots \dots \times \phi (p_n^{c_n})$

$\phi (n)=p_1^{c_1}\times (1-\frac{1}{p_1})\times p_2^{c_2}\times (1-\frac{1}{p_2})\times p_3^{c_3}\times (1-\frac{1}{p_3})\times \dots \dots \times p_n^{c_n}\times (1-\frac{1}{p_n})$

由于$n=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times p_3^{c_3}\times \dots \dots \times p_n^{c_n}$

所以$\phi (n)=n\times (1-\frac{1}{p_1})\times (1-\frac{1}{p_2})\times (1-\frac{1}{p_3})\times \dots \dots \times (1-\frac{1}{p_n})$

将$(1-\frac{1}{p_i})$稍作化简就可以得到$\phi (n)=n\times \frac{p_1-1}{p_1}\times \frac{p_2-1}{p_2}\times \dots \dots \times \frac{p_m-1}{p_m}$

可以用$O(\sqrt{n})$的时间复杂度算出一个数的欧拉函数值。

int Euler_function(int n){
	int ans=n;
	for(int i=2;i<=sqrt(n);i++){
		if(n%i==0)ans=ans/i*(i-1);
		while(n%i==0)n/=i;
	}
	if(n>1)ans=ans/n*(n-1);
	return ans;
}

然后可以用$O(n\log n)$的时间复杂度算出$2$ ~ $n$的欧拉函数值。

void Euler(int n) {
	for(int i=2;i<=n;i++)phi[i]=i;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		if(phi[i]==i)
			for(int j=i;j<=n;j+=i)
				phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}

函数性质

1. $\forall n>1$，$1$~$n$ 中与 $n$ 互质的数之和为 $n\times \phi (n)/2$；
2. 若 $a,b$ 互质，则 $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$；（积性函数）
3. 设 $p$ 为质数，若 $p\mid n$ 且 $p^2\mid n$，则 $\phi (n)=\phi (n/p)\ast p$；
4. 设 $p$ 为质数，若 $p\mid n$ 且 $p^2\nmid n$，则 $\phi (n)=\phi (n/p)\ast (p-1)$；
5. ${\sum }_{d\mid n}\phi (d)=n$。

线性筛法

知道了函数性质，就可以考虑用更优的筛法。

线性筛

void Euler(int n) {
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){//质数情况
			p[++cnt]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;i*p[j]<=n;j++) {
			vis[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){
				phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];//性质3
				break;
			}
			else phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);//性质4
		}
	}
}

例题1

Farey Sequence
这道题可以先前置求好$1$ ~ $10^6$的欧拉函数，询问时就是求$1$ ~ $n$的函数值之和就行了。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int read(){
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
	return x*f;
}
void print(int x){
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x<10){putchar(x+'0');return;}
	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
int n;
int vis[N];
int phi[N];
int p[N];
int cnt;
signed main(){
	for(int i=2;i<N;i++){
		if(!vis[i]){
			p[++cnt]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;i*p[j]<N;j++){
			vis[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){
				phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
				break;
			}
			else phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
		}
	}
	while(1){
		n=read();
		if(!n)break;
		int ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)ans+=phi[i];
		print(ans);
		putchar('\n');
	}
}

例题2

Calculation 2
由性质1可以算出$1$ ~ $n$的欧拉函数值之和，也就是$1$ ~ $n$中所有与$n$互质的数之和，用$1$ ~ $n$的所有数之和减去它就行了。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int mod=1000000007;
int read(){
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
	return x*f;
}
void print(int x){
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x<10){putchar(x+'0');return;}
	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
int n;
int Sqrt(int res){
	int x=sqrt(res);
	while((x+1)*(x+1)<=res)x++;
	while(x*x>res)x--;
	return x;
}
int oula(int x){
	int res=x%mod;
	for(int i=2;i<=Sqrt(x);i++){
		if(x%i)continue;
		res=res/i%mod*(i-1)%mod;
		while(x%i==0)x/=i;
	}
	if(x>1)res=res/x%mod*(x-1)%mod;
	return res;
}
signed main(){
	while(1){
		n=read();
		if(!n)break;
		print((n-1-oula(n))*n/2%mod);
		putchar('\n');
	}
}