莫比乌斯函数μ

函数的定义

莫比乌斯函数$\mu (n)$的定义为：

情况	函数值
$n=1$	$1$
$n=p_1\times p_2\times p_3\dots \dots \times p_m$	$(-1{)}^r$
其他	0

其中$p_1$，$p_2$，$p_3$，$\dots \dots p_m$指的是$n$的$m$个质因数。
注意：这里的$p_1$，$p_2$，$p_3$，$\dots \dots p_m$指数都是只有$1$的，也就是说每个质因数在$n$中只有一个，只要出现了第二个，那么情况就是其他。

定理

对于莫比乌斯函数的和函数在整数$n$处的值$F(n)=$∑${}_{d|n}\mu (d)$,满足
${\sum }_{d|n}\mu (d)=\{\begin{array}{ll}1,& n=1\\ 0,& n>1\end{array}$

证明

$n=1$时，显然有$F(1)=$∑${}_{d|n}\mu (1)=1$
$n>1$时，根据积性函数的定义，有$F(n)=F(p_1^{a_1})F(p_2^{a_2})\dots F(p_t^{a_t})$,其中,$n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\dots \dots p_t^{a_t}$ 是质因数分解。如果能证明$F(p^k)=0$,即有$F(n)=0$.因为当$i\ge 2$时，$\mu (p^i)=0$,故有

$F(p^k)=$∑${}_{d|p^k}\mu (d)=\mu (1)+\mu (p)+\mu (p^2)+\cdots +\mu (p^k)=1+(-1)+0+0+\dots \dots +0=0$

单个计算

int mobius_function(int n){
	if(n==1)return 1;
	int ans=0;
	for(int i=2;i<=sqrt(n);i++){
		if(n%i==0){
			n/=i;
			ans++;
		}
		while(n%i==0)return 0;
	}
	ans+=(n!=1);
	return pow(-1,ans);
}

筛法（线性筛）

void mobius(int n){
	vis[1]=1;
	mob[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){//质数情况
			p[++cnt]=i;
			mob[i]=-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&p[j]*i<=n;j++){
			vis[p[j]*i]=1;
			mob[i*p[j]]=(i%p[j]?-mob[i]:0);
			if(i%p[j]==0)break;
		}
	}
}