关于函数的事情

什么是函数

在运动变化的观点下，函数指一个量（因变量）随另一个量（自变量）的变化而变化。例如，当自变量$x$在定义域内取每个确定值时，因变量$y$都有唯一确定的值与之对应。
比如：$y=2x+1$，$y=x^2-4$

函数图像

定义

函数图像是所有有序数对 $(x,f(x))$ 组成的集合，其中$x$是定义域内的自变量，$f(x)$ 是对应的因变量值。
在平面直角坐标系上，横轴($x$轴)表示数对中的$x$，而数轴($y$轴)表示数对中的$f(x)$
将$x$与$f(x)$为坐标的点一一连接，就构成了函数图像。
例如，函数$y=4x$的函数图像：

函数分类

幂函数（包括一次函数，二次函数）

形如$y=x^a$的函数，以 $x$为底数，指数为常数。
例如：$y=x^2$，$y=\sqrt{x}$，$y=x^3+9$
函数图像：
$y=x^2$
![幂函数]图像(https://i-blog.csdnimg.cn/direct/6ea74a90bfe0477098a065a0ef0f01ea.png#pic_center)

指数函数

形如$y=a^x$的函数，以$x$为指数，底数为常量。
例如：$y=10^x$
函数图像：
$y=10^x$

对数函数

形如$y=lo{g}_{a}x$的函数，与指数函数互为反函数，两者的函数图像关于$y=x$对称。
例如：$y=lo{g}_{10}x$
函数图像：
$y=lo{g}_{10}x$

与指数函数$y=10^x$图像作对比：

特殊性质：若两函数底数$a$互为倒数，则两函数的图像关于$x$轴对称。

三角函数

勾股定理：直角三角形的两条直角边长度分别为$a$和$b$，斜边长度为$c$，那么就有$a^2+b^2=c^2$。
证明：

如图，$a$，$b$为直角三角形的直角边长，$c$为斜边长。
大正方形的面积为$(a+b{)}^2=a^2+b^2+2ab$
四个三角形的面积为：$4\times \frac{ab}{2}=2ab$
那么中间小正方形的面积就是$(a^2+b^2+2ab)-2ab=a^2+b^2$
同时又因为小正方形的边长也就是三角形斜边长为$c$，所以小正方形的面积也是$c^2$
可以得出$a^2+b^2=c^2$
三角函数
三角函数三个主要的组成分别是正弦$sin$，余弦$cos$，正切$tan$，他们适用于直角三角形的锐角，反映的是对应边的比值。
1.sin，表示$\frac{对边}{斜边}$的值。
2.cos，表示$\frac{邻边}{斜边}$的值。
3.tan，表示$\frac{对边}{邻边}$的值。
特殊值

角度	$0$	$30$	$45$	$60$	$90$
sin	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
cos	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
tan	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	不存在$(\infty )$

反比例函数

形如$y=\frac{k}{x}$($k\ne 0$)的函数，此时，$y$与$x$成反比例关系。
例如：$y=\frac{1}{x}$
定义域
$x\ne 0$且$y\ne 0$
函数图像：
反比例函数的函数图像为双曲线。
当$k>0$时，双曲线位于第一、三象限；
当$k<0$时，双曲线位于第二、四象限。
$y=\frac{1}{x}$的函数图像。