【题解】尼克的任务（DP）

最新推荐文章于 2024-06-21 17:11:09 发布

_BOSS_

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分类专栏：题解动态规划（DP）

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动态规划（DP）

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探讨了尼克如何在限定工作时间内，通过合理选择任务来最大化个人空暇时间的问题。利用动态规划方法，逆序计算状态转移方程，确保任务安排的最优化。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题面

【题目描述】
尼克每天上班之前都连接上英特网，接收他的上司发来的邮件，这些邮件包含了尼克主管的部门当天要完成的全部任务，每个任务由一个开始时刻与一个持续时间构成。尼克的一个工作日为 $N$ 分钟，从第一分钟开始到第 $N$ 分钟结束。当尼克到达单位后他就开始干活。如果在同一时刻有多个任务需要完成，尼克可以任选其中的一个来做，而其余的则由他的同事完成，反之如果只有一个任务，则该任务必需由尼克去写成，假如某些任务开始时刻尼克正在工作，则这些任务也由尼克的同事完成。如果某任务于第 $P$ 分钟开始，持续时间为 $T$ 分钟，则该任务将在第 $P + T - 1$ 分钟结束。写一个程序计算尼克应该如何选取任务，才能获得最大的空暇时间。
【输入】
输入数据第一行包含两个用空格隔开的整数 $N$ 和 $K$ ， $1≤N≤100001\leq N\leq10000$ ， $1≤K≤100001\leq K\leq10000$ ， $N$ 表示尼克的工作时间，单位为分， $K$ 表示任务总数。接下来共有 $K$ 行，每一行有两个用空格隔开的整数 $P$ 和 $T$ ，表示该任务从第 $P$ 分钟开始，持续时间为 $T$ 分钟，其中 $1≤P≤N，1≤P+T−1≤N1\leq P\leq N，1\leq P+T-1\leq N$ 。
【输出】
输出文件仅一行包含一个整数表示尼克可能获得的最大空暇时间。
【样例输入】

【样例输出】

算法分析

对于 $D P$ 题目，一种简单的设置状态的方法就是，题目怎么问，怎么设置状态。
状态：
$f [i]$ ——第 $i$ 分钟结束后获得的最大空闲时间。
状态转移方程
（1）在第 $i$ 分钟时如果没有任务：
$f [i] = f [i - 1] + 1$
（2）在第 $i$ 分钟有任务，选择第 $j$ 个任务做，持续第 $T [j]$ 分钟：
$f [i] = m a x (f [i], f [i - T [j]])$ ， $\geq T[j]$ ，因为在 $i - T [i] + 1$ 分钟，正在开始做这个任务，所以是 $i - T [j]$
看到这里，可能大家都发现问题了，题目说当前时刻有任务就必须要做，如果正在做任务过程中，则不做当前时刻的任务。如果我要做第 $j$ 个任务，持续时间为 $T [j]$ ，我们不能确定在 $i - T [j] + 1$ 分钟时，是否正在做着其他任务，如果正在做其他任务，那么此时就不能做第 $j$ 个任务。

如何解决这个问题呢？我们可以按时间逆序讨论：
状态转移方程
（1）在第i分钟时如果没有任务：
$f [i] = f [i + 1] + 1$
（2）在第 $i$ 分钟有任务，选择第 $j$ 个任务做，持续第 $T [j]$ 分钟：
$f [i] = m a x (f [i], f [i + T [j]])$
这样，我就能够保证在第 $i$ 分钟开始第 $j$ 个任务，在第 $i + T [j] - 1$ 分钟结束，第 $i + T [j]$ 分钟又可以重新选择做哪些任务，不会有影响。

参考程序

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 100010
using namespace std;
int n,k,f[N],s[N],p[N],t[N]; 
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        scanf("%d%d",&p[i],&t[i]);
        s[p[i]]++;		//统计当前时刻有多少个任务
    }   
    for(int i=n;i>=1;i--)    //逆推 
    {
        if(s[i]==0) f[i]=f[i+1]+1;      //当前无任务 
        else
        {
            for(int j=1;j<=k;j++)	
            {
                if(p[j]==i)         //当前任务在i时刻开始的，选择做哪一个任务
                    f[i]=max(f[i],f[i+t[j]]);
            }
        }
    }
    cout<<f[1]<<endl;
}