【题解】编辑距离(DP)

题面

【题目描述】
AAABBB222个字符串。要用最少的字符操作将字符串AAA转换为字符串BBB。这里所说的字符操作包括:
(1)(1)(1) 删除一个字符;
(2)(2)(2) 插入一个字符;
(3)(3)(3) 将一个字符改为另一个字符。
求将字符串AAA变换为字符串BBB所用的最少字符操作数称为字符串AAABBB的编辑距离,记为d(A,B)d(A,B)d(A,B)
【输入】
111行是字符串AAA,第222行是字符串BBB。字符串AAABBB的长度均小于200020002000.
【输出】
一个正整数,为最少字符操作次数。
【样例输入】

sfdqxbw
gfdgw

【样例输出】

4

算法分析

可以结合求最长公共子序列的方法。
现在有两个序列,
状态:
f[i][j]f[i][j]f[i][j]——长度为iii的字符串AAA转换为长度为jjj的字符串BBB的最少操作。

状态转移方程:
(1)(1)1如果字符串AAAi−1i-1i1个字符已经和BBBjjj个字符相同,那么删除最后一个无用的A[i]A[i]A[i],得到长度为iii的字符串AAA转换为长度为jjj的字符串BBB的最少操作次数。
f[i][j]=f[i−1][j]+1f[i][j]=f[i-1][j]+1f[i][j]=f[i1][j]+1

(2)(2)2如果字符串AAAiii个字符和BBB的前j−1j-1j1个字符相同,那么在AAA后增加一个与B[j]B[j]B[j]相同的字符,得到长度为iii的字符串AAA转换为长度为jjj的字符串BBB的最少操作次数。
f[i][j]=f[i][j−1]+1f[i][j]=f[i][j-1]+1f[i][j]=f[i][j1]+1

(3)(3)3如果发现A[i]==B[j]A[i]==B[j]A[i]==B[j],则不需要操作,和长度为i−1i-1i1的字符串AAA转换为长度为j−1j-1j1的字符串BBB的最少操作次数相同。
f[i][j]=f[i−1][j−1]f[i][j]=f[i-1][j-1]f[i][j]=f[i1][j1]
然后对这三种情况取一个最小值。
边界条件
f[i][0]=if[i][0]=if[i][0]=i,长度为iii的字符串AAA转换为长度为000的字符串BBB的最少操作次数为iii,执行iii次删除操作。
f[0][j]=jf[0][j]=jf[0][j]=j,长度为000的字符串AAA转换为长度为jjj的字符串BBB的最少操作次数为jjj,执行jjj次增加操作。

参考程序

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char a[2100],b[2100];
int f[2100][2100];
int main()
{
    cin>>a>>b;
    int lena=strlen(a),lenb=strlen(b);
    for(int i=lena;i>0;i--)  //为了避免判断i=0,j=0时,i-1,j-1越界,字符整体右移动一位 
        a[i]=a[i-1];
    for(int i=lenb;i>0;i--)
        b[i]=b[i-1];
    for(int i=0;i<=lena;i++)
        f[i][0]=i;      //减少i个字符 
    for(int j=0;j<=lenb;j++)
        f[0][j]=j;      //增加j个字符 
    for(int i=1;i<=lena;i++)
        for(int j=1;j<=lenb;j++)
            if(a[i]==b[j])
                f[i][j]=f[i-1][j-1];
            else
                f[i][j]=min(min(f[i][j-1],f[i-1][j]),f[i-1][j-1])+1;
    cout<<f[lena][lenb];
    return 0;
}
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