【数学 扩展中国剩余定理】luogu_4777 扩展中国剩余定理 POJ_2891 Strange Way to Express Integers

题意

给定$a,b$
求$\{\begin{array}{c}x\equiv b_1(mod{a}_1)\\ x\equiv b_2(mod{a}_2)\\ x\equiv b_3(mod{a}_3)\\ ...\\ x\equiv b_n(mod{a}_n)\end{array}$
$x$的最小非负整数解。

思路

假设已经求出了前$k-1$个方程构成的方程组的一个解$x$。记$m$为前面所有$a_i$的乘积（代码中$m$为前面所有$a_i$的$lcm$，不影响后面的结论），则$x+i\ast m(i\in \mathbb{Z})$是前$k-1$个方程的通解。

考虑第$k$个方程，求出一个整数$t$使得$x+t\ast m\equiv b_k(mod{a}_k)$。该方程等价于$m\ast t\equiv b_k-x(mod{a}_k)$，其中$t$是未知量。这就是一个线性同余方程，可以用扩展欧几里得算法判断是否有解，并求出它的解。若有解，则$x^{\prime }=x+t\ast m$就是前$k$个方程构成的方程组的一个解。

故做$n$次$exgcd$可得出答案。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>

int n;
long long x, y;
long long a[100001], b[100001];

long long exgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y) {
	if (!b) {
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	long long d = exgcd(b, a % b, x, y);
	long long z = x;
	x = y;
	y = z - y * (a / b);
	return d;
}

long long mul(long long a, long long b, long long p) {
	long long ans = 0;
	for (; b; b >>= 1) {
		if (b & 1) ans = (ans + a) % p;
		a = a * 2 % p;
	}
	return ans;
}

long long excrt() {
	long long m = a[1], ans = b[1];
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		long long c = ((b[i] - ans) % a[i] + a[i]) % a[i], d = exgcd(m, a[i], x, y);//求解方程mt+ya[k]=(m,a[k])
		if (c % d) return -1;//有解当且仅当(m,a[k])|b[k]-x
		long long k = a[i] / d;
		x = mul(x, c / d, k);//求解方程mt+ya[k]=b[k]-x
		ans = ans + x * m;
		m *= a[i] / d;
	}
	return (ans % m + m) % m;
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%lld %lld", &a[i], &b[i]);
	printf("%lld", excrt());
}