【上下界网络流】LOJ_115 无源汇有上下界可行流

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/SSL_hzb/article/details/94974611

本文深入探讨了一种解决流量平衡问题的网络流算法。在给出的n个节点和m条边的网络中，每条边有流量下界和上界，文章详细介绍了如何构建网络并使用Dinic算法寻找可行流，确保所有节点满足流量平衡条件，同时所有边的流量在限制范围内。

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题意

这是一道模板题。
$n$ 个点， $m$ 条边，每条边 $e$ 有一个流量下界lower(e)和流量上界upper(e)，求一种可行方案使得在所有点满足流量平衡条件的前提下，所有边满足流量限制。

思路

具体地,如果一个点i在原网络上的附加流中需要满足流入量 $>$ 流出量(初始流中流入量 $<$ 流出量, $A [i] < 0$ ),那么我们需要给多的流入量找一个去处,因此我们建一条从 $i$ 出发流量 $= - A [i]$ 的边.如果 $A [i] > 0$ ,也就是我们需要让附加流中的流出量 $>$ 流入量,我们需要让多的流出量有一个来路,因此我们建一条指向 $i$ 的流量 $= A [i]$ 的边.

最后,每条边在可行流中的流量 $=$ 容量下界 $+$ 附加流中它的流量(即跑完 $d i n i c$ 之后所加反向边的权值).

代码

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

const int inf = 1 << 29, N = 211, M = 10201;
int n, m, s, t, upper, tot = 1;
int edge[(N + M) * 2], head[N], next[(N + M) * 2], ver[(N + M) * 2], pos[M], dep[N], d[N], lower[M];
std::queue<int> q;

void add(int x, int y, int z) {
	ver[++tot] = y;
	edge[tot] = z;
	next[tot] = head[x];
	head[x] = tot;
	
	ver[++tot] = x;
	edge[tot] = 0;
	next[tot] = head[y];
	head[y] = tot;
}

bool bfs() {
	memset(dep, 0, sizeof(dep));
	while (q.size()) q.pop();
	q.push(s);
	dep[s] = 1;
	while (q.size()) {
		int x = q.front();
		q.pop();
		for (int i = head[x]; i; i = next[i]) {
			if (edge[i] && !dep[ver[i]]) {
				q.push(ver[i]);
				dep[ver[i]] = dep[x] + 1;
				if (ver[i] == t) return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}

int dinic(int x, int flow) {
	if (x == t) return flow;
	int rest = flow, k;
	for (int i = head[x]; i && rest; i = next[i])
		if (edge[i] && dep[ver[i]] == dep[x] + 1) {	
			k = dinic(ver[i], std::min(rest, edge[i]));
			if (!k) dep[ver[i]] = 0;
			edge[i] -= k;
			edge[i ^ 1] += k;
			rest -= k;
		}
	return flow - rest;
}

int main() {
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		scanf("%d %d %d %d", &s, &t, &lower[i], &upper);
		d[s] -= lower[i];
		d[t] += lower[i];
		add(s, t, upper - lower[i]);
		pos[i] = tot;
	}
	s = 0;
	t = n + 1;
	int all = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (d[i] > 0) add(s, i, d[i]), all += d[i];
		else add(i, t, -d[i]);
	}
	int flow = 0, maxflow = 0;
	while (bfs())
		while (flow = dinic(s, inf))
			maxflow += flow;
	if (all == maxflow) {
		printf("YES\n");
		for (int i = 1; i <= m; i++)
			printf("%d\n", edge[pos[i]] + lower[i]);
	} else printf("NO\n");
}