【数学】JZOJ_3912 洛谷_2261 超氧化钾/[CQOI2007]余数求和

本文深入探讨了一种高效的模运算求和算法，通过改写原始公式并利用等差数列性质，实现了快速计算∑i=1yx%i的解决方案。文章详细解释了算法的思路，包括如何将问题转化为求解特定区间的等差数列和，以及通过代码实现算法的过程。

题意

给出 $x$ 和 $y$ ，求 $∑i=1yx%i\sum_{i=1}^{y}x\%i$

思路

我们可以改写一下这个式子，根据取模运算，可以这样写
$∑i=1yx−i⌊x/i⌋\sum_{i=1}^{y}x-i\left \lfloor x/i \right \rfloor$
$-\sum_{i=1}^{y}i\left \lfloor x/i \right \rfloor$
如果打一下表，可以发现 $⌊x/i⌋\left \lfloor x/i \right \rfloor$ 在一定范围内是相同的，我们就可以求出这一块的区间，然后用等差数列算出答案。
我们设 $t=⌊x/i⌋t=\left \lfloor x/i \right \rfloor$
$t = 0 时$ ， $r = n$
$t≠0时t\neq0时$ ， $r=min(⌊x/t⌋，n)r=min(\left \lfloor x/t \right \rfloor，n)$
对于第一种情况，因为 $t = 0$ ，所以后面的 $i$ 都是比 $x$ 大的。
对于第二种情况，我们算出一个可以整除 $t$ 的最大整数就是 $r$ 了，与 $n$ 取最小值防止超出范围。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>

long long x, y, ans;

int main() {
	scanf("%d %d", &x, &y);
	ans = x * y;
	for (long long l = 1, r = 1; l <= y; l = r + 1) {
		long long t = x / l;
		if (!t) r = y;
		else r = std::min(x / t, y);
		ans -= t * (r - l + 1) * (l + r) / 2;
	}
	printf("%lld", ans);
}