【NOIP 二分答案 前缀和】JZOJ_3028 聪明的质监员

题意

给出$n$个东西以及他们的重量和价值。计算这些矿石的检验值：
1、给出$m$个区间$[l_i,r_i]$。
2、确定一个参数$W$。
3、对于一个区间$[l_i,r_i]$，计算矿石在这个区间上的检验值$Y_i$：这个区间上所有重量大于等于$W$的矿石数目与它们的价值和的乘积。这批矿产的检验结果$Y$为各个区间的检验值之和。
我们要调整这个参数使得检验结果与给出的标准值$S$相差尽量小。

思路

如果调整$W$，调高会使有些矿石无法选择，答案就会变小，调低就会使答案变大。
我们发现检验值具有单调性，然后可以愉快的想到二分。
因为$W$一定是这些矿石中的某个重量，所以我们可以利用这些矿石的重量进行二分。
对于二分到的答案，如果大于$S$，就把$W$调高，否则调小，不断逼近$S$，然后我们在每次求出的检验结果中取最小值。
对于求检验结果，朴素算法是枚举每个区间，再暴力判断，这样时间复杂度为$O(N^2)$，显然会超时。我们可以利用前缀和的方法，把超过$W$的矿石的信息都加到前缀和里，这样子可以优化成$O(2N)$。
最后时间复杂度为$O((N+M)logN)$。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

struct node{
	int w, v;
}stone[200001];
int n, m;
int a[200001], l[200001], r[200001], pre_n[200001];
long long ans, s;
long long pre_v[200001];

long long check(int x) {
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		pre_v[i] = pre_v[i - 1] + (stone[i].w >= x ? stone[i].v : 0);
		pre_n[i] = pre_n[i - 1] + (stone[i].w >= x ? 1 : 0);
	}//利用前缀和求检验结果
	long long y = -s;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		y += (pre_v[r[i]] - pre_v[l[i] - 1]) * (pre_n[r[i]] - pre_n[l[i] - 1]);
	return y;
}

int main() {
	scanf("%d %d %lld", &n, &m, &s);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d %d", &stone[i].w, &stone[i].v);
		a[i] = stone[i].w;
	}
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		scanf("%d %d", &l[i], &r[i]);
	std::sort(a + 1, a + n + 1);
	int t = std::unique(a + 1, a + n + 1) - a - 1;
	int l1 = 1, r1 = t + 1, mid;
	ans = 1e18;
	while (l1 < r1) {
		mid = (l1 + r1) >> 1;
		long long y = check(a[mid]);
		if (y > 0) l1 = mid + 1;//往S逼近
		else r1 = mid, y = -y;
		ans = std::min(ans, y);
	}
	printf("%lld", ans);
}