做梦(dream)

最新推荐文章于 2025-06-11 23:29:39 发布

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本文探讨了一个有趣的数学问题，主人公ztxz16在梦中需要在特定的时间内回到家中，以确保小宝宝的安全。文章详细描述了一种利用矩阵快速幂的方法来计算所有可能的散步路径数量，并给出了具体的代码实现。

Description
ztxz16旅游归来后十分疲倦，很快就进入了梦中。

在梦中ztxz16结婚生子了，他不得不照顾小宝宝。但这实在太无聊了，于是ztxz16会在散步。梦中ztxz16住在一个类似数轴的街上，数轴上的每个整点是一个街区，每个单位时间内ztxz16可以选择向左走一个街区或者向右走一个街区，但如果他离开家超过m个单位时间小宝宝会有危险，因此ztxz16必须在距离上次在家中不超过m个单位时间内回到家中。

n个单位时间后ztxz16会醒来，他希望此时正好在家中。

ztxz16想知道散步过程可能有多少种不同的散步过程。两个散步过程被认为不同，当且仅当存在至少一个单位时刻ztxz16选择的走向不同。

Input
第一行输入两个整数n, m。

Output
输出可能的散步过程数%1000000007。

Sample Input
输入1：

4 2

输入2：

10 6

Sample Output
输出1：

输出2：

184

Data Constraint
对于30%的数据：2<=n<=100, 2<=m<=100
对于100%的数据：2<=n<=10^9, 2<=m<=100
n和m均为偶数

.
.
.
.
.
.
分析
用f[i]代表i时刻回到家中的方案有多少种，观察发现转移可以写成矩阵的形式，于是可以矩阵乘法快速幂转移

.
.
.
.
.
.
程序：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

int n,m,r[101][101],f[101][101],ans[101][101],mo=1000000007,t[101][101];

void jzcf(int a[101][101],int b[101][101])
{
	memset(t,0,sizeof(t));
	for (int i=1;i<=m;i++)
		for (int j=1;j<=m;j++)
			for (int k=1;k<=m;k++)
				t[i][j]=((long long)a[i][k]*b[k][j]%mo+t[i][j]+mo)%mo;
	for (int i=1;i<=m;i++)
		for (int j=1;j<=m;j++)
			a[i][j]=t[i][j];
}

void work(int x)
{
	if (x==0) return;
	if (x%2==0)
	{
		work(x/2);
		jzcf(ans,ans);
	} else
	{
		work(x-1);
		jzcf(ans,f);
	}
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	r[1][1]=1;
	for (int i=1;i<=m-1;i++)
		for (int j=1;j<=m/2;j++)
		{
			r[i+1][j+1]=(r[i+1][j+1]+r[i][j])%mo;
			r[i+1][j-1]=(r[i+1][j-1]+r[i][j])%mo;
		}
	m/=2;
	for (int i=1;i<=m;i++)
		f[1][i]=2*r[i*2][0]%mo;
	for (int i=2;i<=m;i++)
		f[i][i-1]=1;
	for (int i=1;i<=m;i++)
		ans[i][i]=1;
	work(n/2);
	printf("%d",ans[1][1]);
	return 0;
}